Determine se os limites abaixo existem, no caso que não, explique, no caso que sim, calcule.
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Passo 1
O enunciado pede para estudar o limite de uma função de duas variáveis
quando
. O conteúdo aqui é limite em funções de várias variáveis e vamos precisar verificar se esse limite é independente da direção de aproximação.
Passo 2
Para que o limite de
exista em
, o valor de
ao nos aproximarmos de
deve ser o mesmo para qualquer trajetória. Uma técnica clássica é considerar retas que passam pela origem, dadas por
onde
é a inclinação, e ver se o limite depende de
.
Passo 3
Substituindo
em
, obtemos
Note que essa expressão já não depende de
, só de
.
Passo 4
O valor limite ao longo da reta
é
Para
(eixo
) dá
, e para
(reta
) dá
Como esses resultados são diferentes, o limite não é único e, portanto, não existe.
Resposta
O limite não existe, pois seu valor depende da direção de aproximação (por exemplo, vale
ao longo de
e vale
ao longo de
).