Determine se os limites abaixo existem, no caso que não, explique, no caso que sim, calcule.
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{2 x y}{x^{2}+y^{2}};

Passo 1

O enunciado pede para estudar o limite de uma função de duas variáveis
f(x,y)=\frac{2\,x\,y}{x^{2}+y^{2}}
quando (x,y)\to(0,0). O conteúdo aqui é limite em funções de várias variáveis e vamos precisar verificar se esse limite é independente da direção de aproximação.

Passo 2

Para que o limite de f(x,y) exista em (0,0), o valor de f(x,y) ao nos aproximarmos de (0,0) deve ser o mesmo para qualquer trajetória. Uma técnica clássica é considerar retas que passam pela origem, dadas por
y = m\,x,
onde m é a inclinação, e ver se o limite depende de m.

Passo 3

Substituindo y=m\,x em f(x,y), obtemos
f\bigl(x,mx\bigr) =\frac{2\,x\,(m\,x)}{x^{2}+(m\,x)^{2}} =\frac{2\,m\,x^{2}}{x^{2}(1+m^{2})} =\frac{2\,m}{1+m^{2}}.
Note que essa expressão já não depende de x, só de m.

Passo 4

O valor limite ao longo da reta y=mx é
\lim_{x\to0}f\bigl(x,mx\bigr) =\frac{2\,m}{1+m^{2}}.
Para m=0 (eixo x) dá 0, e para m=1 (reta y=x) dá
\frac{2\cdot1}{1+1^{2}}=1.
Como esses resultados são diferentes, o limite não é único e, portanto, não existe.

Resposta

O limite não existe, pois seu valor depende da direção de aproximação (por exemplo, vale 0 ao longo de y=0 e vale 1 ao longo de y=x).

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