Determine se os limites abaixo existem, no caso que não, explique, no caso que sim, calcule.
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{3 x^{2} y}{x^{2}+y^{2}};

Passo 1

O enunciado pede o limite em duas variáveis
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{3x^{2}y}{x^{2}+y^{2}},
que é um problema de limite de função de \mathbb R^{2} em \mathbb R. Para verificar existência, vamos usar coordenadas polares, pois nesses casos com soma de quadrados é eficiente.

Passo 2

Em coordenadas polares, definimos
x = r\cos\theta, \quad y = r\sin\theta,
onde r\ge0 e \theta\in\mathbb R. Substituindo em \frac{3x^{2}y}{x^{2}+y^{2}} obtemos
\frac{3x^{2}y}{x^{2}+y^{2}} = \frac{3\,(r\cos\theta)^{2}\,(r\sin\theta)}{r^{2}} = \frac{3\,r^{3}\cos^{2}\theta\,\sin\theta}{r^{2}} = 3\,r\,\cos^{2}\theta\,\sin\theta.

Passo 3

Analisamos o módulo dessa expressão:
\bigl|3\,r\,\cos^{2}\theta\,\sin\theta\bigr| \le 3\,r\;\bigl|\cos^{2}\theta\,\sin\theta\bigr| \le 3\,r,
pois \bigl|\cos^{2}\theta\,\sin\theta\bigr|\le1. Como r\to0 quando (x,y)\to(0,0), o valor dominante é 3r\to0. Logo a expressão tende a zero independentemente de \theta.

Resposta

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