Determine se os limites abaixo existem, no caso que não, explique, no caso que sim, calcule.
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x y \cos (y)}{8 x^{2}+y^{2}};

Passo 1

O enunciado pede o limite de
f(x,y) = \frac{x\,y\cos(y)}{8x^{2}+y^{2}}
quando (x,y)\to(0,0). O conteúdo é de limites em várias variáveis: para existir, o valor de f(x,y) deve tender ao mesmo número independente da curva de aproximação.

Passo 2

Uma maneira clássica de investigar dependência de caminho é tomar retas do tipo y = kx. Substituindo em f, temos
f\bigl(x,kx\bigr) = \frac{x\,(kx)\cos(kx)}{8x^{2}+(kx)^{2}} = \frac{k\,x^{2}\cos(kx)}{x^{2}(8+k^{2})} = \frac{k\cos(kx)}{8+k^{2}}.

Passo 3

Agora fazemos x\to0. Como \cos(kx)\to1, obtemos
\lim_{x\to0}f\bigl(x,kx\bigr) = \frac{k}{8+k^{2}}.

Passo 4

Esse resultado depende do parâmetro k. Por exemplo:
  • Se k=0 (reta y=0), o limite é 0.
  • Se k=1 (reta y=x), o limite é 1/9.
Como há valores diferentes ao longo de diferentes retas, o limite não é único.

Resposta

O limite não existe, pois depende do caminho de aproximação.

Exercícios relacionados