Determine se os limites abaixo existem, no caso que não, explique, no caso que sim, calcule.
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{4}-y^{4}}{x^{2}+y^{2}};

Passo 1

O enunciado pede o limite em duas variáveis
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^{4}-y^{4}}{x^{2}+y^{2}}.
O conteúdo é limite em \mathbb{R}^2 e podemos usar fatoração algébrica para simplificar a expressão antes de avaliar o comportamento quando (x,y)\to(0,0).

Passo 2

Fatoramos o numerador como diferença de biquadrados:
x^{4}-y^{4} = (x^{2}-y^{2})(x^{2}+y^{2}).
Para (x,y)\neq(0,0), o denominador não é zero e podemos cancelar x^{2}+y^{2}:
\frac{x^{4}-y^{4}}{x^{2}+y^{2}} = x^{2}-y^{2}.

Passo 3

Agora observamos que x^{2}-y^{2} é uma função polinomial, logo contínua em todo ponto, incluindo a vizinhança de (0,0). Portanto
\lim_{(x,y)\to(0,0)}(x^{2}-y^{2}) = 0 - 0 = 0.

Resposta

0

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