Determine se os limites abaixo existem, no caso que não, explique, no caso que sim, calcule.
\lim _{(x, y) \rightarrow(2,1)} 5 x^{3}-x^{2} y^{2};

Passo 1

O enunciado pede o limite
\displaystyle \lim_{(x,y)\to(2,1)}\bigl(5x^{3}-x^{2}y^{2}\bigr).
O conteúdo aqui é limite de função de duas variáveis e usaremos a continuidade de funções polinomiais para resolver.

Passo 2

A função
f(x,y)=5x^{3}-x^{2}y^{2}
é polinomial em x e y. Toda função polinomial é contínua em \mathbb{R}^2. Logo, o limite em um ponto é igual ao valor da função nesse ponto:
\lim_{(x,y)\to(2,1)}f(x,y)=f(2,1).

Passo 3

Basta calcular
f(2,1)=5\cdot 2^{3}-2^{2}\cdot 1^{2}=5\cdot 8-4\cdot 1=40-4=36.

Resposta

\displaystyle 36

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