Verifique se a função dada é contínua. Justifique a sua resposta:
f(x)=\left\{\begin{array}{c}\frac{1-\sqrt{x}}{1-\sqrt[3]{x}}, \quad x \neq 1 \\\\ 3 / 2, \quad x=1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
f(x)=\begin{cases} \displaystyle \frac{1-\sqrt{x}}{1-\sqrt[3]{x}}, & x\neq 1,\\[6pt] \displaystyle \frac{3}{2}, & x=1. \end{cases}
Pede para verificar se f é contínua e justificar. Informações relevantes fornecidas:
\sqrt{x} exige x\ge 0 para a raiz quadrada real; a raiz cúbica \sqrt[3]{x} está definida para todo x. O valor declarado em x=1 é \tfrac{3}{2}. Preciso decidir se f é contínua em todos os pontos do domínio (incluindo x=1).]

Passo 2

Determinar o domínio de f. Como a raiz quadrada aparece em \sqrt{x}, requeremos x\ge 0. Portanto o domínio natural da expressão é [0,\infty). A parte que define f(1)=\tfrac{3}{2} coloca um valor em x=1, então o domínio da função dada é [0,\infty).

Passo 3

Verificar continuidade para x\neq 1. Explicação didática: funções \sqrt{x}=x^{1/2} e \sqrt[3]{x}=x^{1/3} são contínuas em [0,\infty) (na verdade a raiz cúbica é contínua em \mathbb{R}). O quociente de duas funções contínuas é contínuo onde o denominador é diferente de zero. Para x\neq 1 temos \sqrt[3]{x}\neq 1 (pois \sqrt[3]{1}=1), logo o denominador 1-\sqrt[3]{x} é não nulo. Assim a expressão \dfrac{1-\sqrt{x}}{1-\sqrt[3]{x}} é contínua em todo x\in[0,\infty) com x\neq 1. Conclusão parcial: não há problema de continuidade em pontos diferentes de 1.

Passo 4

Verificar continuidade em x=1. Lembrete do conceito: uma função é contínua em x=1 se \displaystyle\lim_{x\to 1} f(x)=f(1). Já sabemos f(1)=\tfrac{3}{2}. Precisamos calcular \displaystyle\lim_{x\to 1}\dfrac{1-\sqrt{x}}{1-\sqrt[3]{x}} (aqui consideramos x aproximando-se de 1 dentro do domínio, ou seja x\ge 0).

Passo 5

Avaliar o tipo de indeterminação e escolher manipulação. Ao substituir x=1 na expressão para x\neq1 obtém-se 0/0, indeterminação. Uma técnica prática é usar uma substituição que torne as potências em algo mais manejável. Tome
r = x^{1/6},
então \sqrt{x}=x^{1/2}=r^3 e \sqrt[3]{x}=x^{1/3}=r^2. Quando x\to 1 temos r\to 1. Substituindo na expressão obtenho, para x\neq 1 (equivalente a r\neq 1),
\frac{1-\sqrt{x}}{1-\sqrt[3]{x}}=\frac{1-r^3}{1-r^2}.

Passo 6

Fatorar diferença de potências e cancelar o fator comum. Lembrete da identidade (aula curta): para qualquer r,
1-r^n=(1-r)(1+r+r^2+\cdots+r^{n-1}).
Aplicando com n=3 e n=2 temos
1-r^3=(1-r)(1+r+r^2),\qquad 1-r^2=(1-r)(1+r).
Como r\neq 1 (pois estamos pensando no limite através de valores x\neq 1), podemos cancelar o fator (1-r) e obter
\frac{1-r^3}{1-r^2}=\frac{1+r+r^2}{1+r}.

Passo 7

Calcular o limite com a expressão simplificada. Agora que a forma não é indeterminada, fazemos r\to 1:
\lim_{x\to 1}\frac{1-\sqrt{x}}{1-\sqrt[3]{x}} =\lim_{r\to 1}\frac{1+r+r^2}{1+r} =\frac{1+1+1}{1+1}=\frac{3}{2}.
Observação didática: a substituição foi escolhida justamente para transformar as potências fracionárias em potências inteiras de r, permitindo usar a fatoração de diferença de potências.

Passo 8

Concluir continuidade em x=1. Como \displaystyle\lim_{x\to 1} f(x)=\tfrac{3}{2}=f(1), a função é contínua em x=1. Juntando com o passo 3, f é contínua em todo o domínio [0,\infty).

Passo 9

(bônus pedagógico — método alternativo rápido) Outra forma é usar L’Hôpital: escrever a expressão original e, por ser 0/0 quando x\to1, derivar numerador e denominador em x:
\frac{d}{dx}(1-\sqrt{x})=-\tfrac{1}{2}x^{-1/2},\qquad \frac{d}{dx}(1-\sqrt[3]{x})=-\tfrac{1}{3}x^{-2/3}.
Aplicando L’Hôpital e avaliando em x=1 \dfrac{-\tfrac{1}{2}}{-\tfrac{1}{3}}=\tfrac{1/2}{1/3}=\tfrac{3}{2}, o mesmo resultado. Esse caminho exige conhecer o teorema de L’Hôpital; a fatoração por r=x^{1/6} é mais elementar e segura em provas sem cálculo avançado.

Resposta

A função é contínua em todo o seu domínio [0,\infty).

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