Verifique se a função dada é contínua. Justifique a sua resposta: f(x)=\left\{\begin{array}{c}\frac{1-\sqrt{x}}{1-\sqrt[3]{x}}, \quad x \neq 1 \\\\ 3 / 2, \quad x=1\end{array}\right.
Pede para verificar se f é contínua e justificar. Informações relevantes fornecidas: \sqrt{x} exige x\ge 0 para a raiz quadrada real; a raiz cúbica \sqrt[3]{x} está definida para todo x. O valor declarado em x=1 é \tfrac{3}{2}. Preciso decidir se f é contínua em todos os pontos do domínio (incluindo x=1).]
Passo 2
Determinar o domínio de f. Como a raiz quadrada aparece em \sqrt{x}, requeremos x\ge 0. Portanto o domínio natural da expressão é [0,\infty). A parte que define f(1)=\tfrac{3}{2} coloca um valor em x=1, então o domínio da função dada é [0,\infty).
Passo 3
Verificar continuidade para x\neq 1. Explicação didática: funções \sqrt{x}=x^{1/2} e \sqrt[3]{x}=x^{1/3} são contínuas em [0,\infty) (na verdade a raiz cúbica é contínua em \mathbb{R}). O quociente de duas funções contínuas é contínuo onde o denominador é diferente de zero. Para x\neq 1 temos \sqrt[3]{x}\neq 1 (pois \sqrt[3]{1}=1), logo o denominador 1-\sqrt[3]{x} é não nulo. Assim a expressão \dfrac{1-\sqrt{x}}{1-\sqrt[3]{x}} é contínua em todo x\in[0,\infty) com x\neq 1. Conclusão parcial: não há problema de continuidade em pontos diferentes de 1.
Passo 4
Verificar continuidade em x=1. Lembrete do conceito: uma função é contínua em x=1 se \displaystyle\lim_{x\to 1} f(x)=f(1). Já sabemos f(1)=\tfrac{3}{2}. Precisamos calcular \displaystyle\lim_{x\to 1}\dfrac{1-\sqrt{x}}{1-\sqrt[3]{x}} (aqui consideramos x aproximando-se de 1 dentro do domínio, ou seja x\ge 0).
Passo 5
Avaliar o tipo de indeterminação e escolher manipulação. Ao substituir x=1 na expressão para x\neq1 obtém-se 0/0, indeterminação. Uma técnica prática é usar uma substituição que torne as potências em algo mais manejável. Tome
r = x^{1/6},
então \sqrt{x}=x^{1/2}=r^3 e \sqrt[3]{x}=x^{1/3}=r^2. Quando x\to 1 temos r\to 1. Substituindo na expressão obtenho, para x\neq 1 (equivalente a r\neq 1),
Observação didática: a substituição foi escolhida justamente para transformar as potências fracionárias em potências inteiras de r, permitindo usar a fatoração de diferença de potências.
Passo 8
Concluir continuidade em x=1. Como \displaystyle\lim_{x\to 1} f(x)=\tfrac{3}{2}=f(1), a função é contínua em x=1. Juntando com o passo 3, f é contínua em todo o domínio [0,\infty).
Passo 9
(bônus pedagógico — método alternativo rápido) Outra forma é usar L’Hôpital: escrever a expressão original e, por ser 0/0 quando x\to1, derivar numerador e denominador em x:
Aplicando L’Hôpital e avaliando em x=1 dá \dfrac{-\tfrac{1}{2}}{-\tfrac{1}{3}}=\tfrac{1/2}{1/3}=\tfrac{3}{2}, o mesmo resultado. Esse caminho exige conhecer o teorema de L’Hôpital; a fatoração por r=x^{1/6} é mais elementar e segura em provas sem cálculo avançado.
Resposta
A função é contínua em todo o seu domínio [0,\infty).