DETERMINE OS LIMITES, SE EXISTEM, CASO O CONTRARIO , MOSTRE QUE NÃO EXISTE ;
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{2 x{2}-y{2}}{x^{2}+2 y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede o valor de
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{2x^{2}-y^{2}}{x^{2}+2y^{2}}
que é um limite de função de duas variáveis. Para verificar se existe, vamos usar a ideia de aproximar por retas de inclinação variável e ver se o resultado é sempre o mesmo.

Passo 2

Suponha que venhamos a (0,0) pela reta y=mx. Então substituímos y=mx em
f(x,y)=\frac{2x^{2}-y^{2}}{x^{2}+2y^{2}}
e obtemos
f(x,mx) =\frac{2x^{2}-(mx)^{2}}{x^{2}+2(mx)^{2}} =\frac{2-m^{2}}{1+2m^{2}}.

Passo 3

Note que \tfrac{2-m^{2}}{1+2m^{2}} depende de m. Por exemplo:
para m=1
\frac{2-1}{1+2\cdot1^{2}}=\frac{1}{3},
enquanto para m=\sqrt{2}
\frac{2-(\sqrt{2})^{2}}{1+2(\sqrt{2})^{2}} =\frac{2-2}{1+2\cdot2}=0.

Passo 4

Como a aproximação por retas de inclinação diferente dá resultados distintos, o valor do limite não é único. Concluímos que o limite não existe.

Resposta

O limite não existe.

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