Questāo 3 (2 pontos) Resolva o problema de valor inicial usando a transformada de Fourier
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial da equação do calor
com condição inicial
O conteúdo de matéria é a transformada de Fourier em
para reduzir a PDE a uma ODE em
, e depois inverter a transformada para obter
.
Passo 2
Definimos a transformada de Fourier de
em
por
Aplicando essa transformada à equação do calor, trocamos a derivada espacial por um fator algébrico:
Logo, ao transformar
, obtemos
Passo 3
A transformação reduziu a PDE a uma ODE em
para cada
:
Trata-se de uma equação diferencial ordinária linear de primeira ordem.
Passo 4
Resolvendo a ODE, temos
onde
é a transformada de Fourier da condição inicial.
Passo 5
Calculamos a transformada inicial:
Esse integral não tem forma elementar fechada, mas fica registrado na solução.
Passo 6
Agora usamos a transformada inversa para voltar a
:
Passo 7
Reconhecemos que essa integral é a convolução da condição inicial com o núcleo de calor gaussiano
Portanto