Questāo 3 (2 pontos) Resolva o problema de valor inicial usando a transformada de Fourier
\left\{\begin{array}{l} \frac{\partial u}{\partial t}=\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}, x \in \mathbb{R} \\\ u(x, 0)=e^{-x^{3} / 4}, x \in \mathbb{R} . \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial da equação do calor
\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}},\quad x\in\mathbb{R},\;t>0,
com condição inicial
u(x,0)=e^{-x^{3}/4},\quad x\in\mathbb{R}.
O conteúdo de matéria é a transformada de Fourier em x para reduzir a PDE a uma ODE em t, e depois inverter a transformada para obter u(x,t).

Passo 2

Definimos a transformada de Fourier de u(x,t) em x por
\widehat{u}(k,t)=\int_{-\infty}^{\infty}u(x,t)\,e^{-ikx}\,dx.
Aplicando essa transformada à equação do calor, trocamos a derivada espacial por um fator algébrico:
\mathcal{F}\{\partial_{x}^{2}u\}(k,t)=-(k^{2})\,\widehat{u}(k,t).
Logo, ao transformar \partial_{t}u=\partial_{x}^{2}u, obtemos
\frac{\partial}{\partial t}\widehat{u}(k,t)=-k^{2}\,\widehat{u}(k,t).

Passo 3

A transformação reduziu a PDE a uma ODE em t para cada k:
\frac{d}{dt}\widehat{u}(k,t)=-k^{2}\,\widehat{u}(k,t).
Trata-se de uma equação diferencial ordinária linear de primeira ordem.

Passo 4

Resolvendo a ODE, temos
\widehat{u}(k,t)=\widehat{u}(k,0)\,e^{-k^{2}t},
onde \widehat{u}(k,0) é a transformada de Fourier da condição inicial.

Passo 5

Calculamos a transformada inicial:
\widehat{u}(k,0)=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^{3}/4}\,e^{-ikx}\,dx.
Esse integral não tem forma elementar fechada, mas fica registrado na solução.

Passo 6

Agora usamos a transformada inversa para voltar a u(x,t):
u(x,t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\widehat{u}(k,0)\,e^{-k^{2}t}\,e^{ikx}\,dk.

Passo 7

Reconhecemos que essa integral é a convolução da condição inicial com o núcleo de calor gaussiano
G(x,t)=\frac{1}{\sqrt{4\pi t}}\,e^{-\,x^{2}/(4t)}.
Portanto
u(x,t)=\int_{-\infty}^{\infty}G(x-y,t)\,e^{-y^{3}/4}\,dy =\frac{1}{\sqrt{4\pi t}} \int_{-\infty}^{\infty} \exp\!\Bigl(-\frac{(x-y)^{2}}{4t}-\frac{y^{3}}{4}\Bigr)\,dy.

Resposta

u(x,t) =\frac{1}{\sqrt{4\pi t}} \int_{-\infty}^{\infty} \exp\!\Bigl(-\frac{(x-y)^{2}}{4t}-\frac{y^{3}}{4}\Bigr)\,dy.

Exercícios relacionados