DETERMINE OS LIMITES, SE EXISTEM, CASO O CONTRARIO , MOSTRE QUE NÃO EXISTE ;
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x{3}-y{2} x}{x{2}+y{2}}

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^3 - y^2 x}{x^2 + y^2}
que é um limite de função de duas variáveis. Para mostrar que esse limite existe e encontrar seu valor, vamos usar a troca para coordenadas polares e verificar se o resultado depende do ângulo.

Passo 2

Em coordenadas polares definimos
x = r\cos\theta, \quad y = r\sin\theta,
onde r = \sqrt{x^2 + y^2}. Substituindo no numerador:
x^3 - y^2 x = (r\cos\theta)^3 - (r\sin\theta)^2\,(r\cos\theta) = r^3\cos\theta\bigl(\cos^2\theta - \sin^2\theta\bigr) = r^3\cos\theta\cos(2\theta).
O denominador é
x^2 + y^2 = r^2.

Passo 3

Portanto a função vira
\frac{x^3 - y^2 x}{x^2 + y^2} = \frac{r^3\cos\theta\cos(2\theta)}{r^2} = r\,\cos\theta\cos(2\theta).
Como para todo \theta vale \bigl|\cos\theta\cos(2\theta)\bigr|\le1, obtemos
\biggl|\frac{x^3 - y^2 x}{x^2 + y^2}\biggr| = |r\,\cos\theta\cos(2\theta)| \le r.
Quando (x,y)\to(0,0), temos r\to0, logo o valor da função tende a zero independentemente de \theta.

Passo 4

Concluímos que o limite existe e é igual a zero.

Resposta

0

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