DETERMINE OS LIMITES, SE EXISTEM, CASO O CONTRARIO , MOSTRE QUE NÃO EXISTE ;
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x{3}-y{2} x}{x{2}+y{2}}
Passo 1
O enunciado pede
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^3 - y^2 x}{x^2 + y^2}
que é um limite de função de duas variáveis. Para mostrar que esse limite existe e encontrar seu valor, vamos usar a troca para coordenadas polares e verificar se o resultado depende do ângulo.
Passo 2
Em coordenadas polares definimos
x = r\cos\theta, \quad y = r\sin\theta,
onde r = \sqrt{x^2 + y^2}. Substituindo no numerador: