Questăo 4 (2 pontos) Resolva o problema de valor inicial usando a transformada de Fourier
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação da onda
sujeita às condições iniciais
O conteúdo é transformada de Fourier em
, que converte a PDE em uma EDO em
. Depois resolvemos a EDO e invertimos a transformada.
Passo 2
Definimos a transformada de Fourier em
de
por
Como
e ,
a PDE vira
e
a PDE vira
As condições iniciais transformadas são
e
, onde
e
.
Passo 3
A EDO em
é
de solução geral
Impondo
dá
.
Impondo dá
Impondo
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Passo 4
Voltamos à variável
pela inversa:
Usamos as fórmulas-padrão de transformada inversa:
Somando esses resultados obtemos a fórmula de d’Alembert.