Questăo 4 (2 pontos) Resolva o problema de valor inicial usando a transformada de Fourier
\left\{\begin{array}{l} \frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}}=\partial^{2} \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}, \quad x \in \mathbb{R} \\\ u(x, 0)=f(x), \quad \frac{\partial u}{\partial t}=g(x), \quad x \in \mathbb{R} \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação da onda
\frac{\partial^{2}u}{\partial t^{2}} = c^{2}\,\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}},\quad x\in\mathbb{R},\;t>0
sujeita às condições iniciais
u(x,0)=f(x),\quad \frac{\partial u}{\partial t}(x,0)=g(x).
O conteúdo é transformada de Fourier em x, que converte a PDE em uma EDO em t. Depois resolvemos a EDO e invertimos a transformada.

Passo 2

Definimos a transformada de Fourier em x de u por
\hat u(k,t) = \int_{\mathbb{R}} u(x,t)\,e^{-ikx}\,dx.
Como \mathcal{F}_x[\partial^2u/\partial t^2]=\partial^2\hat u/\partial t^2
e \mathcal{F}_x[\partial^2u/\partial x^2]=-(k^2)\,\hat u,
a PDE vira
\frac{\partial^2 \hat u}{\partial t^2}(k,t) = -c^2\,k^2\,\hat u(k,t).
As condições iniciais transformadas são \hat u(k,0)=\hat f(k) e \partial_t\hat u(k,0)=\hat g(k), onde \hat f(k)=\mathcal{F}_x[f] e \hat g(k)=\mathcal{F}_x[g].

Passo 3

A EDO em t é
\frac{d^2\hat u}{dt^2} + c^2k^2\,\hat u = 0,
de solução geral
\hat u(k,t) = A(k)\cos(c\,k\,t) + B(k)\sin(c\,k\,t).
Impondo \hat u(k,0)=\hat f(k) A(k)=\hat f(k).
Impondo \partial_t\hat u(k,0)=\hat g(k)
\partial_t\hat u\bigl|_{t=0} = B(k)\,c\,k = \hat g(k) \quad\Longrightarrow\quad B(k)=\frac{\hat g(k)}{c\,k}.
Logo
\hat u(k,t) = \hat f(k)\cos(c\,k\,t) + \frac{\hat g(k)}{c\,k}\,\sin(c\,k\,t).

Passo 4

Voltamos à variável x pela inversa:
u(x,t) = \frac{1}{2\pi}\int_{\mathbb{R}} \Bigl[\hat f(k)\cos(c\,k\,t)+\frac{\hat g(k)}{c\,k}\sin(c\,k\,t)\Bigr]e^{ikx}\,dk.
Usamos as fórmulas-padrão de transformada inversa:
\frac{1}{2\pi}\int \hat f(k)\cos(c\,k\,t)e^{ikx}dk = \frac{f(x+ct)+f(x-ct)}{2},
\frac{1}{2\pi}\int \frac{\hat g(k)}{c\,k}\sin(c\,k\,t)e^{ikx}dk = \frac{1}{2c}\int_{x-ct}^{x+ct}g(s)\,ds.
Somando esses resultados obtemos a fórmula de d’Alembert.

Resposta

\boxed{ u(x,t) = \frac{f(x+ct)+f(x-ct)}{2} + \frac{1}{2c}\int_{x-ct}^{x+ct}g(s)\,ds. }

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