Determine se os limites existem. Se existir, determine o seu valor.
(f)
(f)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um limite de uma função de três variáveis:
. Nosso objetivo é descobrir se esse limite existe e, se existir, qual é o seu valor. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre limites de funções multivariáveis e a continuidade da função logaritmo natural.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o que acontece dentro do logaritmo quando
se aproxima de
. A expressão dentro do logaritmo é
. Vamos substituir os valores de
,
e
por 2, 0 e -1, respectivamente:
Passo 3
Agora, sabemos que
é um número real bem definido. Além disso, a função logaritmo natural
é contínua para todo
. Isso significa que se o valor dentro do logaritmo está se aproximando de 5, então o logaritmo vai se aproximar de
.
Passo 4
Como a função
é contínua no ponto
(porque
), podemos aplicar a propriedade da continuidade que nos permite trocar o limite pela substituição direta dos valores:
Resposta
Sim, o limite existe e o seu valor é
.