Determine se os limites existem. Se existir, determine o seu valor.
(f) lim (x, y, z) (2,0,-1) ln (2 x+y-z)=ln (5)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um limite de uma função de três variáveis: . Nosso objetivo é descobrir se esse limite existe e, se existir, qual é o seu valor. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre limites de funções multivariáveis e a continuidade da função logaritmo natural.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece dentro do logaritmo quando 2x + y - z = 2(2) + 0 - (-1) = 4 + 0 + 1 = 5 se aproxima de . A expressão dentro do logaritmo é . Vamos substituir os valores de , e por 2, 0 e -1, respectivamente:

Passo 3

Agora, sabemos que é um número real bem definido. Além disso, a função logaritmo natural é contínua para todo . Isso significa que se o valor dentro do logaritmo está se aproximando de 5, então o logaritmo vai se aproximar de .

Passo 4

Como a função lim (x, y, z) (2,0,-1) ln (2x+y-z) = ln(5) é contínua no ponto (porque ), podemos aplicar a propriedade da continuidade que nos permite trocar o limite pela substituição direta dos valores:

Resposta

Sim, o limite existe e o seu valor é .

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