Mostre que
primeiro escrevendo a integral como uma integral iterada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que a integral de 0 até
de
dt é igual a
. Para isso, vamos usar o conceito de integral iterada, que é basicamente aplicar duas integrações em sequência para simplificar a expressão.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a função
pode ser escrita como uma integral. De fato, sabemos que:
Isso significa que podemos reescrever a diferença
como:
Passo 3
Agora, vamos substituir essa expressão na integral original:
Aqui, a gente tem uma integral iterada, ou seja, uma integral dentro de outra integral.
Passo 4
Vamos trocar a ordem de integração. Para isso, precisamos entender os limites de integração. Originalmente,
varia de 0 a
, e para cada
,
varia de
a
. Vamos redesenhar esses limites para trocar a ordem:
-
varia de 0 a - Para cada
, varia de a
Então, a integral iterada fica:
Passo 5
Vamos resolver a integral interna
. Sabemos que a integral de
é o logaritmo natural:
Isso simplifica bastante a expressão!
Passo 6
Substituindo de volta na integral principal, temos:
Agora, a integral ficou mais simples de resolver.
Passo 7
Sabemos que
. Portanto:
Como
, simplificamos para:
Passo 8
Agora, voltando à expressão original, lembramos que queremos avaliar a integral de 0 a
. Portanto, quando
tende a infinito,
tende a
. Assim, no limite, temos: