Mostre que
integral0^x arctg pi x-arctg xx d x=pi2 ln pi
primeiro escrevendo a integral como uma integral iterada.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que a integral de 0 até de dt é igual a . Para isso, vamos usar o conceito de integral iterada, que é basicamente aplicar duas integrações em sequência para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função arctan(t) = integral0^t 11 + u^2 du pode ser escrita como uma integral. De fato, sabemos que:
arctan(pi t) - arctan(t) = integralt^pi t 11 + u^2 du
Isso significa que podemos reescrever a diferença como:

Passo 3

Agora, vamos substituir essa expressão na integral original:
integral0^x arctan(pi t) - arctan(t)t dt = integral0^x 1t ( integralt^pi t 11 + u^2 du ) dt
Aqui, a gente tem uma integral iterada, ou seja, uma integral dentro de outra integral.

Passo 4

Vamos trocar a ordem de integração. Para isso, precisamos entender os limites de integração. Originalmente, integral0^pi x 11 + u^2 ( integralupi^u 1t dt ) du varia de 0 a , e para cada , varia de a . Vamos redesenhar esses limites para trocar a ordem:
  • varia de 0 a
  • Para cada , varia de a
Então, a integral iterada fica:

Passo 5

Vamos resolver a integral interna integralupi^u 1t dt = ln(u) - ln(upi) = ln(pi) . Sabemos que a integral de é o logaritmo natural:
Isso simplifica bastante a expressão!

Passo 6

Substituindo de volta na integral principal, temos:
integral0^pi x 11 + u^2 cdot ln(pi) du = ln(pi) integral0^pi x 11 + u^2 du
Agora, a integral ficou mais simples de resolver.

Passo 7

Sabemos que ln(pi) [ arctan(u) ]0^pi x = ln(pi) ( arctan(pi x) - arctan(0) ) . Portanto:
ln(pi) cdot arctan(pi x)
Como , simplificamos para:

Passo 8

Agora, voltando à expressão original, lembramos que queremos avaliar a integral de 0 a ln(pi) cdot pi2 = pi2 ln pi . Portanto, quando tende a infinito, tende a . Assim, no limite, temos:

Resposta

pi2 ln pi

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