Usando o Teorema Fundamental do Cálculo, calcule a derivada
(d)
(d)
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma função definida por uma integral:
O objetivo é calcular a derivada dessa função em relação a
, ou seja, encontrar
. Para isso, vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo, que nos ajuda a derivar funções definidas por integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar como funciona o Teorema Fundamental do Cálculo. Ele diz que se temos uma função definida por uma integral com limites que dependem de
, a derivada dessa função é dada pela função que está sendo integrada avaliada nos limites, multiplicada pelas derivadas desses limites. Matematicamente:
Aqui,
é a função que estamos integrando, e
e
são os limites inferior e superior da integral, respectivamente.
Passo 3
Vamos identificar cada parte na nossa função
:
- Função dentro da integral:
- Limite inferior:
- Limite superior:
Agora, precisamos encontrar as derivadas desses limites em relação a
:
-
Derivada do limite inferior:
-
Derivada do limite superior:
Passo 4
Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo à nossa função
, temos:
Substituindo as expressões que encontramos:
Passo 5
Vamos simplificar essa expressão passo a passo:
-
O primeiro termo:Sabemos que
, mas vamos deixar assim mesmo para manter a clareza. -
O segundo termo:O sinal negativo e o negativo do
se cancelam:
Passo 6
Finalmente, escrevendo a derivada de forma mais organizada:
Resposta
A derivada de
em relação a
é: