Usando o Teorema Fundamental do Cálculo, calcule a derivada dd x f(x)
(d) f(x)=integrale^-2 x^tan (x) e^theta cos (theta) d theta

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma função definida por uma integral:
f(x) = integrale^-2x^tan(x) e^theta cos(theta) , dtheta
O objetivo é calcular a derivada dessa função em relação a , ou seja, encontrar . Para isso, vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo, que nos ajuda a derivar funções definidas por integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar como funciona o Teorema Fundamental do Cálculo. Ele diz que se temos uma função definida por uma integral com limites que dependem de ddx ( integrala(x)^b(x) g(theta) , dtheta ) = g(b(x)) cdot b'(x) - g(a(x)) cdot a'(x) , a derivada dessa função é dada pela função que está sendo integrada avaliada nos limites, multiplicada pelas derivadas desses limites. Matematicamente:
Aqui, é a função que estamos integrando, e e são os limites inferior e superior da integral, respectivamente.

Passo 3

Vamos identificar cada parte na nossa função a'(x) = ddx e^-2x = -2 e^-2x :
  • Função dentro da integral: b'(x) = ddx tan(x) = sec^2(x)
  • Limite inferior:
  • Limite superior:
Agora, precisamos encontrar as derivadas desses limites em relação a :
  • Derivada do limite inferior:
  • Derivada do limite superior:

Passo 4

Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo à nossa função ddx f(x) = g(b(x)) cdot b'(x) - g(a(x)) cdot a'(x) , temos:
ddx f(x) = e^tan(x) cos(tan(x)) cdot sec^2(x) - e^e^-2x cos(e^-2x) cdot (-2 e^-2x)
Substituindo as expressões que encontramos:

Passo 5

Vamos simplificar essa expressão passo a passo:
  1. O primeiro termo:
    e^tan(x) cos(tan(x)) cdot sec^2(x)
    Sabemos que - e^e^-2x cos(e^-2x) cdot (-2 e^-2x) , mas vamos deixar assim mesmo para manter a clareza.
  2. O segundo termo:
    2 e^e^-2x cos(e^-2x) e^-2x
    O sinal negativo e o negativo do se cancelam:

Passo 6

Finalmente, escrevendo a derivada de forma mais organizada:
ddx f(x) = e^tan(x) cos(tan(x)) sec^2(x) + 2 e^e^-2x e^-2x cos(e^-2x)

Resposta

A derivada de ddx f(x) = e^tan(x) cos(tan(x)) sec^2(x) + 2 e^e^-2x e^-2x cos(e^-2x) em relação a é:

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