Esboce as curvas de nível de f para os seguintes valores de k :
(d) f(x, y) = 3x - 7y ; k = 0, +- 1, +- 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para esboçar as curvas de nível da função para os valores de . Isso faz parte da matéria de funções de duas variáveis e gráficos de superfícies. Para isso, vamos usar o conceito de curvas de nível, que são as curvas no plano onde a função assume valores constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são curvas de nível. Uma curva de nível para um valor é o conjunto de pontos que satisfazem a equação . No nosso caso, isso significa resolver a equação para cada valor de dado.

Passo 3

Vamos rearranjar a equação para deixar em função de . Assim:
Isso mostra que cada curva de nível é uma reta com inclinação e interceptação no eixo de .

Passo 4

Agora, vamos determinar as equações específicas para cada valor de :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :

Passo 5

Com essas equações, podemos esboçar as retas no plano . Todas elas terão a mesma inclinação , então serão paralelas entre si. A diferença entre elas está nas interceptações no eixo , que variam de acordo com o valor de .

Resposta

As curvas de nível de para são retas paralelas dadas por:
Essas retas são todas paralelas e diferem apenas na altura em que interceptam o eixo .

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