Mostre que os limites não existem ao longo dos eixos coordenados:
(d) lim (x, y) (0,0) cos (x y)x+y

Passo 1

Vamos dar uma olhada no enunciado: precisamos mostrar que o limite não existe quando nos aproximamos do ponto ao longo dos eixos coordenados. Aqui, estamos lidando com limites em funções de duas variáveis, especificamente analisando como a função se comporta ao nos aproximarmos do ponto de interesse pelas direções dos eixos e . Para resolver isso, vamos calcular o limite ao longo de cada eixo separadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar o limite ao longo do eixo cos(x cdot 0)x + 0 = cos(0)x = 1x . Isso significa que estamos aproximando de mantendo .
Substituindo na função, temos:
Agora, analisamos o comportamento de quando se aproxima de . Se se aproxima de pelo lado positivo, tende ao infinito positivo. Se se aproxima de pelo lado negativo, tende ao infinito negativo. Portanto, o limite ao longo do eixo não existe, pois os valores se tornam infinitamente grandes de maneiras diferentes dependendo da direção.

Passo 3

Agora, vamos considerar o limite ao longo do eixo cos(0 cdot y)0 + y = cos(0)y = 1y . Isso significa que estamos aproximando de mantendo .
Substituindo na função, temos:
Analisando quando se aproxima de , vemos que se tende a pelo lado positivo, tende ao infinito positivo. Se tende a pelo lado negativo, tende ao infinito negativo. Assim como no caso do eixo , o limite ao longo do eixo também não existe pelo mesmo motivo.

Resposta

Portanto, o limite não existe quando nos aproximamos de ao longo dos eixos coordenados e .

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