Mostre que os limites não existem ao longo dos eixos coordenados:
(d)
(d)
Passo 1
Vamos dar uma olhada no enunciado: precisamos mostrar que o limite
não existe quando nos aproximamos do ponto
ao longo dos eixos coordenados. Aqui, estamos lidando com limites em funções de duas variáveis, especificamente analisando como a função se comporta ao nos aproximarmos do ponto de interesse pelas direções dos eixos
e
. Para resolver isso, vamos calcular o limite ao longo de cada eixo separadamente.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar o limite ao longo do eixo
. Isso significa que estamos aproximando
de
mantendo
.
Substituindo
na função, temos:
Agora, analisamos o comportamento de
quando
se aproxima de
. Se
se aproxima de
pelo lado positivo,
tende ao infinito positivo. Se
se aproxima de
pelo lado negativo,
tende ao infinito negativo. Portanto, o limite ao longo do eixo
não existe, pois os valores se tornam infinitamente grandes de maneiras diferentes dependendo da direção.
Passo 3
Agora, vamos considerar o limite ao longo do eixo
. Isso significa que estamos aproximando
de
mantendo
.
Substituindo
na função, temos:
Analisando
quando
se aproxima de
, vemos que se
tende a
pelo lado positivo,
tende ao infinito positivo. Se
tende a
pelo lado negativo,
tende ao infinito negativo. Assim como no caso do eixo
, o limite ao longo do eixo
também não existe pelo mesmo motivo.
Resposta
Portanto, o limite
não existe quando nos aproximamos de
ao longo dos eixos coordenados
e
.