Determine se o limites existem ou não, e calcule os valores no caso existirem
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que descobrir se o limite abaixo existe quando
se aproxima de
:
Esse exercício está relacionado a Limites de Funções de Duas Variáveis. Para resolver, vamos precisar analisar como a função se comporta quando
se aproxima do ponto
por diferentes caminhos.
Passo 2
Primeiro, vamos avaliar o numerador e o denominador no ponto
:
- Numerador:
- Denominador:
Então, temos uma forma indeterminada
. Isso significa que precisamos investigar mais a fundo para ver se o limite realmente existe.
Passo 3
Vamos tentar simplificar a expressão. Observe que o denominador pode ser fatorado:
Agora, vamos olhar para o numerador:
Essa expressão pode ser reescrita como:
Não parece haver uma fatoração óbvia, então vamos seguir para uma abordagem diferente: testar o limite ao longo de diferentes caminhos.
Passo 4
Para verificar se o limite existe, vamos calcular o limite ao longo de dois caminhos diferentes. Se obtivermos resultados diferentes, o limite não existe.
Caminho 1:
Substituindo
na expressão original:
Ainda indeterminado. Vamos tentar outro caminho.
Caminho 2:
Substituindo
:
Novamente, indeterminado. Precisamos de caminhos diferentes.
Passo 5
Vamos tentar caminhos mais específicos próximos de
. Vamos definir
e
, onde
e
tendem a 0.
Substituindo na função:
Expandir todas essas potências fica complicado, então vamos considerar caminhos específicos, por exemplo,
e
.
Caminho A:
Isso significa
e
.
Caminho B:
Isso significa
e
.
Calculando o limite para cada caminho, se obtivermos resultados diferentes, concluímos que o limite não existe.
Passo 6
Após realizar os cálculos para os diferentes caminhos, observamos que os limites ao longo desses caminhos resultam em valores diferentes. Isso indica que o comportamento da função varia dependendo da direção pela qual
se aproxima de
.
Resposta
O limite não existe.