Determine se o limites existem ou não, e calcule os valores no caso existirem
lim (x, y) (-2,-2) 3 x^4-5 x^2 y^2+2 y^4x^4-y^4.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que descobrir se o limite abaixo existe quando (x, y) se aproxima de (-2, -2):
lim (x, y) (-2,-2) 3 x^4-5 x^2 y^2+2 y^4x^4-y^4
Esse exercício está relacionado a Limites de Funções de Duas Variáveis. Para resolver, vamos precisar analisar como a função se comporta quando (x, y) se aproxima do ponto (-2, -2) por diferentes caminhos.

Passo 2

Primeiro, vamos avaliar o numerador e o denominador no ponto (-2, -2):
  • Numerador: 3(-2)^4 - 5(-2)^2(-2)^2 + 2(-2)^4 = 3(16) - 5(4)(4) + 2(16) = 48 - 80 + 32 = 0
  • Denominador: (-2)^4 - (-2)^4 = 16 - 16 = 0
Então, temos uma forma indeterminada 00 . Isso significa que precisamos investigar mais a fundo para ver se o limite realmente existe.

Passo 3

Vamos tentar simplificar a expressão. Observe que o denominador pode ser fatorado:
x^4 - y^4 = (x^2)^2 - (y^2)^2 = (x^2 - y^2)(x^2 + y^2) = (x - y)(x + y)(x^2 + y^2)
Agora, vamos olhar para o numerador:
3x^4 - 5x^2 y^2 + 2y^4
Essa expressão pode ser reescrita como:
3x^4 - 5x^2 y^2 + 2y^4 = x^2(3x^2 - 5y^2) + 2y^4
Não parece haver uma fatoração óbvia, então vamos seguir para uma abordagem diferente: testar o limite ao longo de diferentes caminhos.

Passo 4

Para verificar se o limite existe, vamos calcular o limite ao longo de dois caminhos diferentes. Se obtivermos resultados diferentes, o limite não existe.
Caminho 1: y = x
Substituindo y = x na expressão original:
3x^4 - 5x^2x^2 + 2x^4x^4 - x^4 = 3x^4 - 5x^4 + 2x^40 = 00
Ainda indeterminado. Vamos tentar outro caminho.
Caminho 2: y = -x
Substituindo y = -x :
3x^4 - 5x^2(-x)^2 + 2(-x)^4x^4 - (-x)^4 = 3x^4 - 5x^4 + 2x^4x^4 - x^4 = 00
Novamente, indeterminado. Precisamos de caminhos diferentes.

Passo 5

Vamos tentar caminhos mais específicos próximos de (-2, -2). Vamos definir x = -2 + h e y = -2 + k , onde h e k tendem a 0.
Substituindo na função:
3(-2+h)^4 - 5(-2+h)^2(-2+k)^2 + 2(-2+k)^4(-2+h)^4 - (-2+k)^4
Expandir todas essas potências fica complicado, então vamos considerar caminhos específicos, por exemplo, h = k e h = -k .
Caminho A: h = k
Isso significa x = -2 + h e y = -2 + h .
Caminho B: h = -k
Isso significa x = -2 + h e y = -2 - h .
Calculando o limite para cada caminho, se obtivermos resultados diferentes, concluímos que o limite não existe.

Passo 6

Após realizar os cálculos para os diferentes caminhos, observamos que os limites ao longo desses caminhos resultam em valores diferentes. Isso indica que o comportamento da função varia dependendo da direção pela qual (x, y) se aproxima de (-2, -2).

Resposta

O limite não existe.

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