Determine se o limites existem ou não, e calcule os valores no caso existirem
lim (x, y) (0,0) y^2-2 x^3 yx^6+y^2.

Passo 1

O enunciado pede o limite de
f(x,y)=y^2-2x^3yx^6+y^2
quando (x,y)to(0,0). Isso envolve limites de funções de duas variáveis; para verificar existência, vamos usar o teste de caminhos, isto é, ver se ao aproximar-se pela curva y=kx^3 o valor final é sempre o mesmo.

Passo 2

Tomando o caminho y=kx^3, substituímos em f:
fl(x,kx^3r) =(kx^3)^2-2x^3,(kx^3)x^6+(kx^3)^2 =k^2x^6-2k,x^6x^6(1+k^2) =k^2-2k1+k^2,
Esse resultado é uma constante que depende de k, não de x.

Passo 3

Como o valor
k^2-2k1+k^2
varia com k (por exemplo -tfrac12 para k=1 e 0 para k=2), o limite não é único ao aproximar-se de (0,0) por curvas diferentes. Logo, o limite não existe.

Resposta

O limite não existe.

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