Determine os limites se existirem:
lim x 0 sen x-xtan x-x

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
limxto0sin x - xtan x - x
Esse tipo de limite dá uma indeterminação 0/0, então vamos usar a expansão em séries de Taylor (ou L’Hôpital) para resolver.

Passo 2

Verificamos a indeterminação ao substituir :
e .
Logo, temos a forma , confirmando a necessidade de um método que revele o comportamento de ordem superior em .

Passo 3

Usamos as expansões em Taylor próximas a x=0:
sen x = x - x^36 + O(x^5),
tan x = x + x^33 + O(x^5)

Passo 4

Subtraindo x de cada expansão obtemos:
sen x - x = -,x^36 + O(x^5),
tan x - x = x^33 + O(x^5)

Passo 5

Formamos o quociente e cancelamos o fator x^3:
sen x - xtan x - x = -tfracx^36 + O(x^5)tfracx^33 + O(x^5) ;longrightarrow;-tfrac16tfrac13 = -12

Resposta

-12

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