A velocidade de um fluido bidimensional é dada por v=v(x, y)=u(x, y) i-v(x, y) j. Supondo que o fluido seja incompressível (ou seja, nabla cdot v=0 ) e irrotacional, prove que valem as condições de CauchyRiemann
partial upartial x=partial vpartial y, partial upartial y=-partial vpartial x

Passo 1

O enunciado dá o campo de velocidade bidimensional
v(x,y)=u(x,y),i-v(x,y),j
e diz que o fluido é incompressível ( nablacdotv=0) e irrotacional ( nablatimesv=0). Vamos usar as definições de divergência e de rotacional em 2D para chegar às condições de Cauchy–Riemann.

Passo 2

A condição de incompressibilidade é
nablacdotv =partialpartial xl(ur) +partialpartial yl(-vr) =0
ou seja
partial upartial x-partial vpartial y=0 Longrightarrow partial upartial x=partial vpartial y

Passo 3

A condição de irrotacional em 2D significa que o único componente do rotacional é nulo:
(nablatimesv)z =partialpartial xl(-vr) -partialpartial yl(ur) =0
isto é
-partial vpartial x-partial upartial y=0 Longrightarrow partial upartial y=-partial vpartial x

Resposta

partial upartial x=partial vpartial y, partial upartial y=-partial vpartial x

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