Se
é irrotacional (ou seja
), sendo
, mostre que
é solenoidal.
Passo 1
O enunciado diz que temos um campo vetorial
irrotacional, ou seja
e o vetor posição
. Precisamos mostrar que o campo
é solenoidal, isto é,
Para isso, vamos usar a identidade de divergência de um produto vetorial e o fato de que
.
Passo 2
Aplicamos a identidade vetorial
com
e
. Assim,
Passo 3
Como
é irrotacional, temos
Passo 4
Mostramos que o vetor posição satisfaz
pois cada componente de
depende só de sua própria coordenada e as derivadas mistas desaparecem. Logo
Passo 5
Substituindo esses resultados na identidade do passo 2,
Portanto o campo
tem divergência nula.
Resposta
A divergência de
é zero, logo
é solenoidal.