Se u é irrotacional (ou seja nabla times u=0 ), sendo r=x i+y j+z k, mostre que u times r é solenoidal.

Passo 1

O enunciado diz que temos um campo vetorial u irrotacional, ou seja
nabla times u = 0,
e o vetor posição r=x,i+y,j+z,k. Precisamos mostrar que o campo utimesr é solenoidal, isto é,
nablacdot(utimesr)=0
Para isso, vamos usar a identidade de divergência de um produto vetorial e o fato de que nablatimesr=0.

Passo 2

Aplicamos a identidade vetorial
nablacdot(AtimesB) =Bcdot(nablatimesA) -Acdot(nablatimesB)
com A=u e B=r. Assim,
nablacdot(utimesr) =rcdot(nablatimesu) -ucdot(nablatimesr)

Passo 3

Como u é irrotacional, temos
nablatimesu=0 Longrightarrow rcdot(nablatimesu)=0

Passo 4

Mostramos que o vetor posição satisfaz
nablatimesr =nablatimes(x,y,z) =0,
pois cada componente de r depende só de sua própria coordenada e as derivadas mistas desaparecem. Logo
ucdot(nablatimesr)=0

Passo 5

Substituindo esses resultados na identidade do passo 2,
nablacdot(utimesr) =0-0 =0
Portanto o campo utimesr tem divergência nula.

Resposta

A divergência de utimesr é zero, logo utimesr é solenoidal.

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