Verifique se a série abaixo converge ou diverge e determine seu valor se possível.
sumn=1^infty n cdot e^-n^2

Passo 1

Beleza! A gente vai resolver um exercício sobre séries infinita, mais especificamente para verificar se a série sumn=1^infty n cdot e^-n^2 converge ou diverge. Se ela convergir, também vamos tentar descobrir qual é o seu valor. Para isso, vamos precisar usar alguns testes de convergência de séries e entender um pouco sobre o comportamento das funções envolvidas.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada nos termos da série: an = n cdot e^-n^2. O que significa isso?
Aqui, n é o termo geral que cresce sem limite, mas e^-n^2 é uma função exponencial que decresce muito rapidinho conforme n aumenta. Então, temos um equilíbrio entre um termo que cresce e outro que diminui bastante.

Passo 3

Para determinar se a série sumn=1^infty an converge, vamos usar o Teste da Comparação. Esse teste é útil quando queremos comparar nossa série com outra série que já sabemos se ela converge ou diverge.
Vamos comparar com a série sumn=1^infty e^-n^2. Sabemos que a função e^-n^2 decai tão rápido que a série sumn=1^infty e^-n^2 converge.

Passo 4

Agora, como an = n cdot e^-n^2 e sabemos que n cresce, mas e^-n^2 decai muito mais rápido, podemos afirmar que an também decai rapidamente. Para ser mais precisos, podemos ver que:
an = n cdot e^-n^2 < n cdot e^-n para todo n >= 1
Sabemos que a série sumn=1^infty n cdot e^-n converge por ser uma série geométrica modificada.

Passo 5

Como an é menor que uma série que já sabemos que converge, pelo Teste da Comparação, a série original sumn=1^infty n cdot e^-n^2 também converge.

Resposta

A série sumn=1^infty n cdot e^-n^2 converge. Infelizmente, não é fácil determinar o valor exato dessa soma usando métodos elementares, mas sabemos que ela soma a um número finito.

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