Verifique se a série abaixo converge ou diverge e determine seu valor se possível.
Passo 1
Beleza! A gente vai resolver um exercício sobre séries infinita, mais especificamente para verificar se a série
converge ou diverge. Se ela convergir, também vamos tentar descobrir qual é o seu valor. Para isso, vamos precisar usar alguns testes de convergência de séries e entender um pouco sobre o comportamento das funções envolvidas.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada nos termos da série:
. O que significa isso?
Aqui,
é o termo geral que cresce sem limite, mas
é uma função exponencial que decresce muito rapidinho conforme
aumenta. Então, temos um equilíbrio entre um termo que cresce e outro que diminui bastante.
Passo 3
Para determinar se a série
converge, vamos usar o Teste da Comparação. Esse teste é útil quando queremos comparar nossa série com outra série que já sabemos se ela converge ou diverge.
Vamos comparar com a série
. Sabemos que a função
decai tão rápido que a série
converge.
Passo 4
Agora, como
e sabemos que
cresce, mas
decai muito mais rápido, podemos afirmar que
também decai rapidamente. Para ser mais precisos, podemos ver que:
Sabemos que a série
converge por ser uma série geométrica modificada.
Passo 5
Como
é menor que uma série que já sabemos que converge, pelo Teste da Comparação, a série original
também converge.
Resposta
A série
converge. Infelizmente, não é fácil determinar o valor exato dessa soma usando métodos elementares, mas sabemos que ela soma a um número finito.