Determine os limites se existirem:
lim x 0 a^x-1x,(0<a neq 1)

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto0a^x-1x,
onde 0<aneq1.
O conteúdo envolvido é limite de função exponencial e vamos precisar usar a definição
a^x = e^xln(a)
e o limite fundamental
limuto0e^u-1u=1

Passo 2

Reescrevendo a^x em termos de e, temos
a^x = e^xln(a),
então a expressão original fica
a^x-1x = e^xln(a)-1x

Passo 3

Para aplicar o limite fundamental, introduzimos o fator xln(a) no denominador e compensamos no numerador:
e^xln(a)-1x = e^xln(a)-1xln(a);cdot;ln(a)

Passo 4

Como xto0 implica u = xln(a)to0, usamos
limuto0e^u-1u = 1
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limxto0a^x-1x = limxto0e^xln(a)-1xln(a);cdot;ln(a) = 1cdotln(a) = ln(a)

Resposta

limxto0a^x-1x = ln(a)

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