Determine os limites, se existirem. Justifique sua resposta.
lim x +infty 8 x^3-5 x^2+32 x^3+7 x-4

Passo 1

O enunciado pede o limite quando xto+infty da função racional
f(x)=8x^3-5x^2+32x^3+7x-4
Isso faz parte do conteúdo de limites de funções polinomiais racionais. Para resolver, vamos comparar os graus do numerador e do denominador e, em seguida, fatorar o maior termo em x.

Passo 2

Fatoramos x^3 no numerador e no denominador para destacar os termos de maior ordem:
8x^3-5x^2+32x^3+7x-4 =x^3l(8 - 5x + 3x^3r)x^3l(2 + 7x^2 - 4x^3r) =8 - 5x + 3x^32 + 7x^2 - 4x^3

Passo 3

Quando xto+infty, todos os termos com 1/x, 1/x^2 e 1/x^3 tendem a zero. Logo,
8 - 5x + 3x^3;longrightarrow;8, 2 + 7x^2 - 4x^3;longrightarrow;2

Passo 4

Portanto, o limite da razão é o quociente dos coeficientes dos termos de grau mais alto:
limxto+infty8x^3-5x^2+32x^3+7x-4 =82=4

Resposta

O limite existe e vale 4.

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