Determine os limites, se existirem. Justifique sua resposta.
lim x -infty 3 x^2-4 x+5

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
limxto -infty l(3x^2 - 4x + 5r)
Isso é um limite de função polinomial de grau 2 quando x tende a -infty. Para resolver, precisamos usar o fato de que, para x muito grande em módulo, o termo de maior grau domina o comportamento da função.

Passo 2

Repare que o termo de maior grau é 3x^2. Quando xto -infty, temos
x^2 to +infty,
pois o quadrado de um número muito negativo é um número muito positivo. Os outros termos -4x e +5 crescem, respectivamente, em ordem menor (linear e constante) e portanto são desprezíveis diante do crescimento quadrático.

Passo 3

Para ver isso de forma mais formal, fatoramos x^2 na expressão:
3x^2 - 4x + 5 = x^2l(3 - tfrac4x + tfrac5x^2r)
Quando x to -infty, temos tfrac4xto 0 e tfrac5x^2to 0, logo
3 - tfrac4x + tfrac5x^2 ;longrightarrow; 3
Portanto a expressão se comporta como
x^2cdot 3 quando xto -infty,
e como já vimos, x^2to +infty, logo 3x^2to +infty.

Resposta

limxto -infty l(3x^2 - 4x + 5r) = +infty

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