Discuta a continuidade da função h(x)=raiz(x-3)(4-x).

Passo 1

O enunciado pede para discutir a continuidade da função
h(x) = raiz(x-3)(4-x)
O conteúdo envolve domínio de funções com radical e continuidade por composição. Para resolver, vamos:
  1. determinar o domínio a partir da condição de não negatividade do radicando,
  2. usar que polinômios e a função raiz quadrada são contínuos em seus domínios,
  3. verificar continuidade nos pontos interiores e nas extremidades do domínio.

Passo 2

Determinamos o domínio impondo
(x-3)(4-x)>=0
As raízes desse produto são x=3 e x=4, e a parábola abre para baixo, logo a desigualdade vale para
xin[3,4]
Portanto o domínio de h é
D = [3,4]

Passo 3

No interior de [3,4] temos (x-3)(4-x)>0, de modo que o radicando é um polinômio (que é contínuo) e a raiz quadrada é contínua em [0,infty). Pela regra de composição, h é contínua em todo ponto de (3,4).

Passo 4

Resta verificar as extremidades do domínio.
Em x=3 temos h(3)=raiz0cdot1=0 e
limxto3^+h(x) =limxto3^+raiz(x-3)(4-x) =raiz0cdot1 =0,
logo limxto3^+h(x)=h(3).
Em x=4 temos h(4)=raiz1cdot0=0 e
limxto4^-h(x) =raiz1cdot0 =0,
portanto limxto4^-h(x)=h(4). Assim, h é contínua também em x=3 e em x=4.

Passo 5

Fora do intervalo [3,4] a função não está definida, portanto não há continuidade nesses pontos.

Resposta

A função h(x)=raiz(x-3)(4-x) é contínua em todo o seu domínio, que é o intervalo [3,4], e não está definida (logo não contínua) fora dele.

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