Determine os limites das funções e indique quais casos correspondem a existência de uma assíntota ao gráfico da função.
lim x 2 x-2raiz2+x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar o limite da função lim x 2 x-2raiz2+x e também identificar se há alguma assíntota no gráfico dessa função. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites e analisar o comportamento da função próximo ao ponto onde estamos calculando o limite.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa calcular lim x 2 x-2raiz2+x. Isso quer dizer que queremos saber o valor que a função x-2raiz2+x se aproxima quando x se aproxima de 2.

Passo 3

Vamos analisar o numerador e o denominador separadamente. Quando x se aproxima de 2:
  • Numerador: x - 2 2 - 2 = 0
  • Denominador: raiz2 + x raiz2 + 2 = raiz4 = 2
Então, a função se comporta como 02 = 0 quando x se aproxima de 2.

Passo 4

Portanto, o limite é:
lim x 2 x-2raiz2+x = 0

Passo 5

Agora, vamos verificar se existe alguma assíntota no gráfico da função. As assíntotas podem ser horizontais, verticais ou oblíquas.
  • Assíntota Vertical: Ocorre quando o denominador da função se aproxima de zero e o numerador não se anula, levando a infinito ou menos infinito.
    No nosso caso, quando x se aproxima de 2, o denominador se aproxima de 2 (não zero) e o numerador se aproxima de 0, resultando em um limite finito (zero). Portanto, não há assíntota vertical em x = 2.
  • Assíntota Horizontal: Ocorre quando o limite da função tende a um número finito ou infinito conforme x tende ao infinito ou menos infinito.
    Aqui, não estamos analisando o comportamento da função quando x tende a infty ou -infty, então não podemos concluir sobre assíntotas horizontais com base apenas nesse limite.

Resposta

O limite da função quando x se aproxima de 2 é 0, e nesse ponto não existe uma assíntota no gráfico da função.

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