Determine os limites das funções e indique quais casos correspondem a existência de uma assíntota ao gráfico da função.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar o limite da função
e também identificar se há alguma assíntota no gráfico dessa função. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites e analisar o comportamento da função próximo ao ponto onde estamos calculando o limite.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa calcular
. Isso quer dizer que queremos saber o valor que a função
se aproxima quando
se aproxima de 2.
Passo 3
Vamos analisar o numerador e o denominador separadamente. Quando
se aproxima de 2:
- Numerador:
→ - Denominador:
→
Então, a função se comporta como
quando
se aproxima de 2.
Passo 4
Portanto, o limite é:
Passo 5
Agora, vamos verificar se existe alguma assíntota no gráfico da função. As assíntotas podem ser horizontais, verticais ou oblíquas.
-
Assíntota Vertical: Ocorre quando o denominador da função se aproxima de zero e o numerador não se anula, levando a infinito ou menos infinito.No nosso caso, quando
se aproxima de 2, o denominador se aproxima de 2 (não zero) e o numerador se aproxima de 0, resultando em um limite finito (zero). Portanto, não há assíntota vertical em . -
Assíntota Horizontal: Ocorre quando o limite da função tende a um número finito ou infinito conforme
tende ao infinito ou menos infinito. Aqui, não estamos analisando o comportamento da função quandotende a ou , então não podemos concluir sobre assíntotas horizontais com base apenas nesse limite.
Resposta
O limite da função quando
se aproxima de 2 é 0, e nesse ponto não existe uma assíntota no gráfico da função.