Determine os limites das funções e indique quais casos correspondem a existência de uma assíntota ao gráfico da função.
lim x +infty(2-1x+4x^2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para encontrar o limite da função quando x vai para mais infinito. Além disso, a gente também precisa ver se existe uma assíntota no gráfico dessa função. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites e entender o que é uma assíntota. Bora resolver passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na função que queremos analisar:
lim x +infty(2-1x+4x^2)
Aqui, x está crescendo cada vez mais, indo para o infinito positivo. Nosso objetivo é ver para onde essa expressão está se aproximando conforme x aumenta.

Passo 3

Vamos analisar cada termo da função individualmente:
  1. Constante 2: Não muda com x , então continua sendo 2.
  2. -1x: Conforme x cresce, 1x fica menor e menor, se aproximando de 0.
  3. 4x^2: De forma semelhante, 4x^2 também diminui rapidamente e se aproxima de 0 à medida que x cresce.

Passo 4

Agora, vamos juntar tudo:
lim x +infty(2 - 1x + 4x^2) = 2 - 0 + 0 = 2
Então, o limite da função quando x tende a mais infinito é 2.

Passo 5

Sobre a assíntota: uma assíntota horizontal ocorre quando o limite da função, quando x vai para mais ou menos infinito, é um número finito. Nesse caso, como o limite é 2, isso significa que existe uma assíntota horizontal no valor y = 2 .

Resposta

O limite da função é 2 e existe uma assíntota horizontal no gráfico da função na altura y = 2 .

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