Determine os limites das funções e indique quais casos correspondem a existência de uma assíntota ao gráfico da função.
lim x -infty x(raizx^2+1-x)

Passo 1

O enunciado pede
limxto -inftyxl(raizx^2+1-xr)
e quer saber se desse limite surge alguma assíntota (horizontal ou oblíqua). Vamos usar racionalização e expansão assintótica para determinar o comportamento quando xto -infty.

Passo 2

Racionalizamos a diferença dentro do parênteses multiplicando e dividindo pelo conjugado raizx^2+1+x:
xl(raizx^2+1-xr) =xl(raizx^2+1-xr)l(raizx^2+1+xr)raizx^2+1+x =xl((x^2+1)-x^2r)raizx^2+1+x =xraizx^2+1+x

Passo 3

Para xto -infty usamos a expansão
raizx^2+1 =|x|raiz1+tfrac1x^2 =-xl(1+12x^2+ol(tfrac1x^2r)r) =-x-12x+ol(tfrac1xr)
Logo
raizx^2+1+x =l(-x-12x+ol(tfrac1xr)r)+x =-12x+ol(tfrac1xr)
Substituindo na fração:
xraizx^2+1+x =x-12x+ol(tfrac1xr) =-2x^2+o(1)

Passo 4

Como -2x^2to -infty quando xto -infty, concluímos
limxto -inftyxl(raizx^2+1-xr)=-infty

Resposta

-infty. Não surge assíntota horizontal nem oblíqua, pois a função diverge com ordem quadrática para -infty.

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