Determine os limites das funções e indique quais casos correspondem a existência de uma assíntota ao gráfico da função.
lim x 0 4 x^3-2 x^2+x3 x^2+2 x

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
limxto04x^3-2x^2+x3x^2+2x
e, em seguida, quer saber se esse limite indica a existência de uma assíntota vertical no ponto x=0. O conteúdo aqui é limite de funções racionais e critério de assíntota vertical (quando o limite lateral é infinito).

Passo 2

Para lidar com o limite em x=0, vamos primeiro fatorar um x em numerador e denominador, observando que xneq0 no processo de simplificação:
4x^3-2x^2+x = xl(4x^2-2x+1r), 3x^2+2x = xl(3x+2r)

Passo 3

Como estamos estudando xto0 e não x=0, podemos simplificar o fator comum x:
4x^3-2x^2+x3x^2+2x = x,(4x^2-2x+1)x,(3x+2) = 4x^2-2x+13x+2, xneq0

Passo 4

Agora basta substituir x=0 na expressão simplificada, pois ela é contínua em torno de 0:
limxto04x^2-2x+13x+2 = 4cdot0^2-2cdot0+13cdot0+2 = 12

Passo 5

Uma assíntota vertical em x=0 ocorreria se limxto0^pmf(x)=pminfty. Como obtivemos um valor finito ( tfrac12), não há assíntota vertical no ponto x=0.

Resposta

limxto04x^3-2x^2+x3x^2+2x=12, e não existe assíntota vertical em x=0.

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