Determine os limites das funções e indique quais casos correspondem a existência de uma assíntota ao gráfico da função.
lim x 2 x^2+3 x-103 x^2-5 x-2

Passo 1

O enunciado dá a função racional
f(x)=x^2+3x-103x^2-5x-2
e pede os limites em pontos onde o denominador zera, relacionando-os a assíntotas do gráfico. Vamos usar fatoração para simplificar e depois analisar limites laterais e no infinito.

Passo 2

Fatoramos numerador e denominador:
x^2+3x-10=(x-2)(x+5), 3x^2-5x-2=(x-2)(3x+1)
Portanto, para xneq2,
f(x)=(x-2)(x+5)(x-2)(3x+1) =x+53x+1

Passo 3

Analisamos o limite em xto2. Como x-2 cancelou, f(x) estende-se pela função contínua (x+5)/(3x+1). Logo
limxto2f(x) =2+53cdot2+1 =77 =1
Esse limite é finito, portanto em x=2 há apenas uma descontinuidade removível, sem assíntota vertical.

Passo 4

As raízes do denominador são x=2 e x=-tfrac13. Já vimos x=2 não gera assíntota. Em x=-tfrac13 o numerador não zera (vale -tfrac989), então
limxto(-1/3)^pmf(x) =pminfty,
o que caracteriza uma assíntota vertical em x=-tfrac13.

Passo 5

Para completar, podemos olhar o comportamento em xtopminfty. Como grau do numerador e denominador são iguais,
limxtopminftyf(x) =coeficiente de x^2 no numcoeficiente de x^2 no den =13
Isso dá uma assíntota horizontal y=tfrac13.

Resposta

limxto2f(x)=1 (descontinuidade removível, sem assíntota em x=2).
Em x=-tfrac13, limxto(-1/3)^pmf(x)=pminfty, logo há assíntota vertical em x=-tfrac13.
Em xtopminfty, lim f(x)=tfrac13, logo há assíntota horizontal y=tfrac13.

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