Determine os limites das funções e indique quais casos correspondem a existência de uma assíntota ao gráfico da função.
Passo 1
O enunciado dá a função racional
e pede os limites em pontos onde o denominador zera, relacionando-os a assíntotas do gráfico. Vamos usar fatoração para simplificar e depois analisar limites laterais e no infinito.
Passo 2
Fatoramos numerador e denominador:
Portanto, para
,
Passo 3
Analisamos o limite em
. Como
cancelou,
estende-se pela função contínua
. Logo
Esse limite é finito, portanto em
há apenas uma descontinuidade removível, sem assíntota vertical.
Passo 4
As raízes do denominador são
e
. Já vimos
não gera assíntota. Em
o numerador não zera (vale
), então
o que caracteriza uma assíntota vertical em
.
Passo 5
Para completar, podemos olhar o comportamento em
. Como grau do numerador e denominador são iguais,
Isso dá uma assíntota horizontal
.
Resposta
Em
Em