Determine os limites das funções e indique quais casos correspondem a existência de uma assíntota ao gráfico da função.
lim x -2 x^3+3 x^2+2 xx^2-x-6

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto -2x^3+3x^2+2xx^2-x-6
e verificar se há assíntota vertical em x=-2. Para isso, vamos usar fatoração de polinômios para identificar zeros comuns em numerador e denominador e depois analisar o tipo de descontinuidade.

Passo 2

Fatoramos o numerador e o denominador:
x^3+3x^2+2x = x,(x^2+3x+2) = x,(x+1)(x+2),
x^2-x-6 = (x-3)(x+2)

Passo 3

Como ambos têm o fator (x+2), podemos simplificar para xneq -2:
x^3+3x^2+2xx^2-x-6 = x,(x+1)(x+2)(x-3)(x+2) = x,(x+1)x-3

Passo 4

Agora o limite fica
limxto -2x,(x+1)x-3 = (-2),(-2+1)-2-3 = (-2)(-1)-5 = -25

Passo 5

Como ao substituir x=-2 o numerador e o denominador originais se anulam simultaneamente, houve cancelamento de um fator comum, caracterizando removível. Logo, não há assíntota vertical em x=-2; existe apenas um ponto “furosinho” no gráfico.

Resposta

limxto -2x^3+3x^2+2xx^2-x-6 = -25,
e não há assíntota vertical em x=-2.

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