Resolva a equação diferencial dada por separação de variável:
d yd x=4 yx(y-3)

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
dydx = 4,yx,(y-3),
que é uma equação de variáveis separáveis. Vamos separar todos os termos em y de um lado e em x do outro para integrar.

Passo 2

Reescrevendo e separando as variáveis, multiplicamos ambos os lados por y-3y,dx e por 1x:
y-3y,dy = 4,dxx

Passo 3

Agora integramos cada lado:
integral y-3y,dy = integral 4,dxx

Passo 4

Calculamos as integrais. No lado esquerdo:
integral y-3y,dy = integral l(1 - 3yr),dy = integral 1,dy - 3integral 1y,dy = y - 3lnl|yr|
No lado direito:
integral 4,dxx = 4lnl|xr| + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Igualando os resultados das duas integrais, obtemos a forma implícita da solução:
y - 3lnl|yr| = 4lnl|xr| + C
Para simplificar, exponenciamos isolando uma constante K=e^C:
e^,y - 3ln|y| = e^4ln|x| + C Longrightarrow e^y|y|^3 = K,x^4

Resposta

A solução geral, em forma implícita, é
e^yy^3 = K,x^4,
onde K é constante arbitrária.

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