Usando multiplicadores de Lagrange, determinar o ponto da reta
mais próximo da origem.
Passo 1
Beleza, resumo da parada: você quer achar o ponto da reta
que está mais pertinho da origem
. Isso cai em otimização com restrição usando multiplicadores de Lagrange. Para resolver, vamos precisar:
- montar uma função que mede o “quão longe” um ponto
está da origem, - transformar a equação da reta numa restrição
, - e aplicar a receita de Lagrange.
Passo 2
Definindo a função objetivo e a restrição com calma:
- Em vez de minimizar diretamente a distância
, a gente costuma usar o quadrado dela
porque é mais “amigável” para derivar, e o mínimo de
e de
ocorre no mesmo ponto.
- A reta
vira a restrição
Assim garantimos que
esteja sobre a reta.
Passo 3
Segundo o método de Lagrange, no ponto ótimo sujeito à restrição, os gradientes de
e de
são paralelos. Aí a gente cria a Lagrangiana
onde
é o multiplicador. As condições de ótimo são
Passo 4
Vamos calcular essas derivadas parciais:
-
-
-
(que é justamente nossa restrição).
Passo 5
Resolvendo o sistema:
- Da eq. (1):
- Da eq. (2):
Substituindo em (3):
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Resposta
O ponto da reta
que fica mais próximo da origem é
.