Usando multiplicadores de Lagrange, determinar o ponto da reta y=2 x-8 mais próximo da origem.

Passo 1

Beleza, resumo da parada: você quer achar o ponto da reta y = 2x - 8 que está mais pertinho da origem (0,0). Isso cai em otimização com restrição usando multiplicadores de Lagrange. Para resolver, vamos precisar:
  1. montar uma função que mede o “quão longe” um ponto (x,y) está da origem,
  2. transformar a equação da reta numa restrição g(x,y)=0,
  3. e aplicar a receita de Lagrange.

Passo 2

Definindo a função objetivo e a restrição com calma:
  • Em vez de minimizar diretamente a distância d = raizx^2 + y^2, a gente costuma usar o quadrado dela
f(x,y) = x^2 + y^2,
porque é mais “amigável” para derivar, e o mínimo de f e de d ocorre no mesmo ponto.
  • A reta y=2x-8 vira a restrição
g(x,y) = y - 2x + 8 = 0
Assim garantimos que (x,y) esteja sobre a reta.

Passo 3

Segundo o método de Lagrange, no ponto ótimo sujeito à restrição, os gradientes de f e de g são paralelos. Aí a gente cria a Lagrangiana
L(x,y,lambda) = f(x,y) + lambda,g(x,y) = x^2 + y^2 + lambda,(y - 2x + 8),
onde lambda é o multiplicador. As condições de ótimo são
partial Lpartial x = 0, partial Lpartial y = 0, partial Lpartial lambda = 0

Passo 4

Vamos calcular essas derivadas parciais:
  1. partial Lpartial x = 2x + lambdacdot(-2) = 0Longrightarrow 2x - 2lambda = 0
  2. partial Lpartial y = 2y + lambdacdot1 = 0Longrightarrow 2y + lambda = 0
  3. partial Lpartial lambda = y - 2x + 8 = 0 (que é justamente nossa restrição).

Passo 5

Resolvendo o sistema:
  • Da eq. (1): 2x - 2lambda = 0;Rightarrow;x = lambda
  • Da eq. (2): 2y + lambda = 0;Rightarrow;y = -tfraclambda2
    Substituindo em (3):
-tfraclambda2 - 2(lambda) + 8 = 0 ;Longrightarrow; -tfraclambda2 - 2lambda = -8 ;Longrightarrow; -tfrac5lambda2 = -8 ;Longrightarrow; lambda = tfrac165
Logo
x = tfrac165, y = -tfrac12cdottfrac165 = -tfrac85

Resposta

O ponto da reta y = 2x - 8 que fica mais próximo da origem é l(tfrac165, -tfrac85r).

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