Determine os limites das funções e indique quais casos correspondem a existência de uma assíntota ao gráfico da função.
lim x 0 sen^2(x3)x^2

Passo 1

O enunciado pede o valor de
limxto 0sen^2!l(tfracx3r)x^2,
que é um limite do tipo 0/0. Vamos usar a aproximação para ângulo pequeno na função seno.

Passo 2

Para x muito próximo de zero vale
sen!l(tfracx3r)approx tfracx3
Logo,
sen^2!l(tfracx3r)approx l(tfracx3r)^2=x^29

Passo 3

Substituindo na razão original, obtemos
sen^2!l(tfracx3r)x^2 approx tfracx^29x^2 =19
Logo,
limxto 0sen^2!l(tfracx3r)x^2 =19

Passo 4

Uma assíntota vertical em x=a ocorre se limxto af(x)=pminfty. Aqui o limite é finito, não há assíntota vertical em x=0. Assíntota horizontal se limxtopminftyf(x) for constante finita, mas este limite é em zero, não produz assíntota horizontal.

Resposta

limxto 0sen^2!l(tfracx3r)x^2=19
Não há assíntota vertical nem assíntota horizontal associada a esse limite em x=0.

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