Resolva a equação diferencial dada sujeita a condição inicial indicada, utilizando equações separáveis:
’
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial separável
com condição inicial .
O conteúdo envolvido é separar variáveis, integrar ambos os lados e usar a condição inicial para determinar a constante de integração.
Passo 2
Separe as variáveis e colocando todos os termos em do lado esquerdo e os de do lado direito:
Passo 3
Integre ambos os lados. Começando pelo lado de , use a substituição , de modo que e :
Do lado de x, note que
sin(x),1+cos(x), =tan!l(tfrac x2r) Longrightarrow integral sin(x),1+cos(x),,dx =-2lnl|cos(tfrac x2)r|+C2
Passo 4
Igualando as duas primitivas (absorvendo C1-C2 em uma constante C), obtemos
-lnl|1-e^yr| =-2lnl|cos(tfrac x2)r|+C ;Longrightarrow; lnl|1-e^yr| =2lnl|cos(tfrac x2)r|-C =lnl|cos^2(tfrac x2)r|+widetilde C
Exponenciando,
l|1-e^yr| =K,cos^2!l(tfrac x2r),
onde K=e^widetilde C.
Passo 5
Retirando o valor absoluto e escrevendo implicita-mente
1 - e^y =Kcos^2!l(tfrac x2r)
Agora aplicamos y(0)=0. Para x=0 temos cos^2(0/2)=1, então
1 - e^0 = 1 - 1 = 0 = Kcdot1 ;Longrightarrow; K=0
Logo a solução geral, para satisfazer a condição inicial, é