Resolva a equação diferencial dada sujeita a condição inicial indicada, utilizando equações separáveis:
(e^-y-1) sen(x) d x=(1+cos (x)) d y ; y(0)=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial separável
l(e^-y-1r),sin(x),dx ;=;(1+cos(x)),dy,
com condição inicial y(0)=0.
O conteúdo envolvido é separar variáveis, integrar ambos os lados e usar a condição inicial para determinar a constante de integração.

Passo 2

Separe as variáveis y e x colocando todos os termos em y do lado esquerdo e os de x do lado direito:
dy,e^-y-1, ;=; sin(x),1+cos(x),,dx

Passo 3

Integre ambos os lados. Começando pelo lado de y, use a substituição u=e^y, de modo que du=e^ydy e e^-y=1/u:
integral dy,e^-y-1, =integral dytfrac1u-1 =integral u,1-u,,duu =integral du,1-u, =-lnl|1-ur|+C1 =-lnl|1-e^yr|+C1
Do lado de x, note que
sin(x),1+cos(x), =tan!l(tfrac x2r) Longrightarrow integral sin(x),1+cos(x),,dx =-2lnl|cos(tfrac x2)r|+C2

Passo 4

Igualando as duas primitivas (absorvendo C1-C2 em uma constante C), obtemos
-lnl|1-e^yr| =-2lnl|cos(tfrac x2)r|+C ;Longrightarrow; lnl|1-e^yr| =2lnl|cos(tfrac x2)r|-C =lnl|cos^2(tfrac x2)r|+widetilde C
Exponenciando,
l|1-e^yr| =K,cos^2!l(tfrac x2r),
onde K=e^widetilde C.

Passo 5

Retirando o valor absoluto e escrevendo implicita-mente
1 - e^y =Kcos^2!l(tfrac x2r)
Agora aplicamos y(0)=0. Para x=0 temos cos^2(0/2)=1, então
1 - e^0 = 1 - 1 = 0 = Kcdot1 ;Longrightarrow; K=0
Logo a solução geral, para satisfazer a condição inicial, é
1 - e^y = 0 ;Longrightarrow; e^y=1 ;Longrightarrow; y=0

Resposta

y(x)=0.

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