Determine os limites das funções e indique quais casos correspondem a existência de uma assíntota ao gráfico da função.
lim x +infty(1+2x)^x

Passo 1

O enunciado pede o limite
limxto+inftyl(1+2xr)^x
que é uma forma indeterminada do tipo 1^infty. Para resolver, vamos usar a ideia de tomar o logaritmo, converter em uma forma 0/0 e aplicar o Teorema de L’Hôpital, voltando depois pela exponencial.

Passo 2

Defina
y = l(1+2xr)^x
Então
ln y = x,lnl(1+2xr)
Reescrevemos
ln y = lnl(1+tfrac2xr)tfrac1x,
que é uma forma tfrac00 para xto+infty, pois ln(1+2/x)to0 e 1/xto0.

Passo 3

Aplicamos L’Hôpital a
limxto+inftylnl(1+tfrac2xr)tfrac1x
Derivando numerador e denominador:
ddxl[ln(1+2/x)r] =-2/x^21+2/x =-2x^2+2x, ddxl[tfrac1xr] =-1x^2
Logo,
limxto+inftyln y =limxto+infty -tfrac2x^2+2x-tfrac1x^2 =limxto+infty2x^2x^2+2x =limxto+infty2xx+2 =2
Assim ln yto2, ou seja yto e^2.

Passo 4

Como
limxto+inftyl(1+2xr)^x=e^2,
existe um valor finito para xto+infty. Isso significa que o gráfico de f(x)=(1+2/x)^x tem uma assíntota horizontal
y=e^2

Resposta

limxto+inftyl(1+2xr)^x=e^2.
Há assíntota horizontal y=e^2.

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