Determine os limites das funções e indique quais casos correspondem a existência de uma assíntota ao gráfico da função.
lim x +infty(1-1x)^x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto+inftyl(1-1xr)^x
e dizer se, à medida que xto+infty, o gráfico da função
f(x)=l(1-1xr)^x
possui uma assíntota horizontal. Vamos usar a técnica de passar ao logaritmo e aplicar o limite fundamental que gera o número e.

Passo 2

Defina
L=limxto+inftyl(1-1xr)^x
Se existir L>0, então podemos escrever
ln L=limxto+inftyxlnl(1-1xr)
Para x grande, use a expansão de série de Taylor para ln(1+u) com u=-tfrac1x:
lnl(1-1xr) = -1x - 12x^2 + o!l(tfrac1x^2r)
Multiplicando por x, obtemos
xlnl(1-1xr) = xl(-1x - 12x^2 + o!l(tfrac1x^2r)r) = -1 - 12x + o!l(tfrac1xr)
Fazendo xto+infty
ln L = -1 Longrightarrow L = e^-1 = 1e

Passo 3

Como
limxto+inftyf(x)=1e,
existe uma assíntota horizontal dada por
y = 1e

Resposta

limxto+inftyl(1-1xr)^x = 1e,
e o gráfico de f(x) tem assíntota horizontal y=tfrac1e.

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