Verifique se as séries a seguir são convergentes ou divergentes. Caso convirjam, determine a sua soma. (Dica: use frações parciais e simplifique as somas parciais para revelar cancelamentos.)
sumn=1^infty 1n(n+1)(n+2)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a série
sumn=1^infty 1n(n+1)(n+2)
é convergente e, em caso afirmativo, determinar sua soma. Vamos usar o método de frações parciais e telescopagem para simplificar a soma parcial da série.

Passo 2

Procuramos decompor o termo geral em parcelas que telescopem. Observe que
1n(n+1) - 1(n+1)(n+2) = (n+2)-nn(n+1)(n+2) = 2n(n+1)(n+2)
Logo,
1n(n+1)(n+2) = 12l(1n(n+1) - 1(n+1)(n+2)r)

Passo 3

Defina a soma parcial até N:
SN = sumn=1^N 1n(n+1)(n+2) = 12sumn=1^Nl(1n(n+1) - 1(n+1)(n+2)r)
Ao expandir, vemos que a maioria dos termos internos cancela, restando apenas o primeiro pedaço do primeiro termo e o segundo pedaço do último termo.

Passo 4

A telescopagem dá
sumn=1^Nl(1n(n+1) - 1(n+1)(n+2)r) = 11cdot2 - 1(N+1)(N+2)
Portanto,
SN = 12l(12 - 1(N+1)(N+2)r) = 14 - 12(N+1)(N+2)

Passo 5

Ao fazer Ntoinfty, o termo 12(N+1)(N+2) tende a zero, o que mostra que a série converge e que sua soma é o limite das somas parciais.

Resposta

A série converge e
sumn=1^infty 1n(n+1)(n+2) = 14

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