Verifique se as séries a seguir são convergentes ou divergentes. Caso convirjam, determine a sua soma. (Dica: use frações parciais e simplifique as somas parciais para revelar cancelamentos.)
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a série
é convergente e, em caso afirmativo, determinar sua soma. Vamos usar o método de frações parciais e telescopagem para simplificar a soma parcial da série.
Passo 2
Procuramos decompor o termo geral em parcelas que telescopem. Observe que
Logo,
Passo 3
Defina a soma parcial até
:
Ao expandir, vemos que a maioria dos termos internos cancela, restando apenas o primeiro pedaço do primeiro termo e o segundo pedaço do último termo.
Passo 4
A telescopagem dá
Portanto,
Passo 5
Ao fazer
, o termo
tende a zero, o que mostra que a série converge e que sua soma é o limite das somas parciais.
Resposta
A série converge e