Determine os limites das funções e indique quais casos correspondem a existência de uma assíntota ao gráfico da função.
lim x +infty(2 x+32 x+1)^2 x+1

Passo 1

O enunciado pede
limxto+inftyl(2x+32x+1r)^2x+1.
O conteúdo aqui é limites do tipo ,(1+an)^nto e^a.

Passo 2

Observe que
2x+32x+1 =1+22x+1,
logo a expressão vira
l(1+22x+1r)^2x+1

Passo 3

Faça a substituição
t=2x+1, tto+infty quando xto+infty
A expressão fica
l(1+2tr)^t

Passo 4

Pelo limite fundamental das exponenciais
limttoinftyl(1+2tr)^t=e^2,
temos então
limxto+inftyl(2x+32x+1r)^2x+1=e^2

Passo 5

Como limxto+inftyf(x)=e^2 é finito e não dependente de x, o gráfico de
f(x)=l(tfrac2x+32x+1r)^2x+1
possui assíntota horizontal dada por
y=e^2

Resposta

limxto+inftyl(2x+32x+1r)^2x+1=e^2.
Há assíntota horizontal y=e^2.

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