Determine os limites das funções e indique quais casos correspondem a existência de uma assíntota ao gráfico da função.
lim x pi6 6 x-pisen(x-pi6)

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
limxto pi66x-pisinl(x-tfracpi6r)
e quer saber se, no ponto x=tfracpi6, surge alguma assíntota vertical. Como ao substituir x=tfracpi6 tanto o numerador quanto o denominador vão a zero, temos uma forma indeterminada tfrac00 e podemos usar a regra de l’Hôpital ou uma expansão de série de sin.

Passo 2

Faça a mudança de variável
h = x - tfracpi6,
de modo que, quando xtotfracpi6, temos hto0. O numerador fica
6x - pi = 6l(tfracpi6+hr)-pi = 6h,
e o denominador é sin(h). Logo a expressão torna-se
6x-pisin(x-tfracpi6) =6hsin(h)
Sabemos que limhto0tfracsin(h)h=1, então
limhto06hsin(h) =6limhto0hsin(h) =6cdot1 =6

Passo 3

Como o limite é um número finito ( 6), a função não diverge ao aproximar-se de x=tfracpi6. Para existir assíntota vertical em x=a seria necessário que limxto af(x)=pminfty. Aqui, como o limite é finito, não há assíntota vertical em x=tfracpi6.

Resposta

limxto pi66x-pisinl(x-pi6r)=6,
e não existe assíntota vertical em x=tfracpi6.

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