Determine os limites das funções e indique quais casos correspondem a existência de uma assíntota ao gráfico da função.
lim x pi2 cos (x)2 x-pi

Passo 1

O enunciado pede o limite
limxto pi2cos(x)2x-pi.
O conteúdo envolvido é cálculo de limites de forma indeterminada tfrac00, e vamos usar a Regra de L’Hôpital para resolvê-lo.

Passo 2

Verificamos a forma indeterminada avaliando numerador e denominador em x=tfracpi2:
cosl(tfracpi2r)=0 e 2cdottfracpi2-pi=0,
logo temos a forma tfrac00, que autoriza o uso da Regra de L’Hôpital.

Passo 3

Aplicando a Regra de L’Hôpital, derivamos numerador e denominador em relação a x:
derivada de cos(x) é -sin(x) e de 2x-pi é 2.
Assim,
limxto pi2cos(x)2x-pi =limxto pi2-sin(x)2 =-sinl(tfracpi2r)2 =-12

Passo 4

Para haver assíntota vertical em x=tfracpi2, o limite deveria divergir para +infty ou -infty. Aqui o limite é finito l(-tfrac12r),
portanto não há assíntota vertical em x=tfracpi2.

Resposta

limxto pi2cos(x)2x-pi=-12,
e não existe assíntota vertical nessa posição.

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