Resolva a equação diferencial usando uma substituição apropriada: y=ux ou x= vy
x d y-y d x-raizx^2-y^2 d x=0

Passo 1

O enunciado apresenta a equação diferencial de primeira ordem
x,dy - y,dx - raizx^2 - y^2,dx = 0
e sugere usar a substituição de variáveis do tipo ,y = u,x. Essa estratégia funciona porque a equação é homogênea em x e y, e a mudança y=ux transforma em uma equação separável.

Passo 2

Fazendo y = u,x, temos
dy = u,dx + x,du
Substituindo em
x,dy - y,dx - raizx^2 - y^2,dx = 0
vem
xl(u,dx + x,dur) - (u,x),dx - raizx^2 - u^2x^2,dx = 0

Passo 3

Distribuindo e simplificando, note que x,u,dx - u,x,dx se cancelam e raizx^2 - u^2x^2 = xraiz1 - u^2. Logo sobra
x^2,du - xraiz1 - u^2,dx = 0 Longrightarrow x,du = raiz1 - u^2,dx
Isso é uma equação separável em u e x.

Passo 4

Separamos as variáveis:
duraiz1 - u^2 = dxx
Agora integramos ambos os lados:
integral duraiz1 - u^2 = integral dxx ;;Longrightarrow;; arcsin(u) = lnl|xr| + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Voltando à variável original y = u,x, temos u = y/x. Então a solução geral fica em forma implícita:
arcsin!l(yxr) - lnl|xr| = C
Podemos deixar também em forma explícita isolando y:
y = x ,sin!l(ln|x| + Cr)

Resposta

A solução geral da equação diferencial é
boxedarcsin!l(tfracyxr) - ln|x| = C ou boxedy = x,sin!l(ln|x| + Cr)

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