Resolva a equação diferencial usando uma substituição apropriada: ou vy
Passo 1
O enunciado apresenta a equação diferencial de primeira ordem
e sugere usar a substituição de variáveis do tipo . Essa estratégia funciona porque a equação é homogênea em e , e a mudança transforma em uma equação separável.
Passo 2
Fazendo , temos
Substituindo em
vem
Passo 3
Distribuindo e simplificando, note que se cancelam e . Logo sobra
Isso é uma equação separável em e .
Passo 4
Separamos as variáveis:
Agora integramos ambos os lados:
onde C é a constante de integração.
Passo 5
Voltando à variável original y = u,x, temos u = y/x. Então a solução geral fica em forma implícita:
arcsin!l(yxr) - lnl|xr| = C
Podemos deixar também em forma explícita isolando y:
y = x ,sin!l(ln|x| + Cr)
Resposta
A solução geral da equação diferencial é
boxedarcsin!l(tfracyxr) - ln|x| = C ou boxedy = x,sin!l(ln|x| + Cr)