Determine os limites das funções e indique quais casos correspondem a existência de uma assíntota ao gráfico da função.
lim x 0 x cos (1x)

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de
limxto0 xcosl(tfrac1xr)
e quer saber se, a partir desse limite, surge alguma assíntota no gráfico da função f(x)=xcos(1/x). Vamos usar o Teorema do Confronto para o limite e em seguida checar a definição de assíntota.

Passo 2

Como para todo xneq0 vale
-1 ;<=;cosl(tfrac1xr);<=;1,
multiplicando por x (que muda de sinal conforme x for positivo ou negativo) obtemos
-|x|;<=;xcosl(tfrac1xr);<=;|x|
Mas sabemos que
limxto0-|x|=0elimxto0|x|=0
Pelo Teorema do Confronto segue que
limxto0xcosl(tfrac1xr)=0

Passo 3

Uma assíntota vertical em x=a requer limxto af(x)=pminfty. Aqui o limite em x=0 é finito ( 0), portanto não há assíntota vertical em x=0. Assíntotas horizontais ou oblíquas se analisam em xtopminfty, não em xto0. Logo, neste caso não existe nenhuma assíntota associada ao comportamento em xto0.

Resposta

limxto0 xcosl(tfrac1xr)=0, sem assíntotas.

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