Determine os limites das funções e indique quais casos correspondem a existência de uma assíntota ao gráfico da função.
lim x +infty xx+sen(x)

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
limxto+inftyxx+sen(x)
e nos convida a verificar se há assíntota horizontal associada. O conteúdo é limite no infinito de uma razão de funções, usando que sen(x) é limitada e definindo assíntota horizontal quando limxto+inftyf(x)=L existe finito.

Passo 2

Escrevemos a função como
f(x)=xx+sen(x)=xxl(1+sen(x)xr) =11+sen(x)x
Como sen(x) oscila em [-1,1], temos
-,1x<=sen(x)x<=1x,
e como 1xto0 quando xto+infty, segue por confronto que
sen(x)x;xrightarrow[xto+infty];0
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f(x)=11+sen(x)x ;xrightarrow[xto+infty]; 11+0=1

Passo 3

Por definição, se limxto+inftyf(x)=L existe e é finito, então a reta y=L é assíntota horizontal ao gráfico de f quando xto+infty. Aqui obtivemos L=1.

Resposta

limxto+inftyxx+sen(x)=1,
e há assíntota horizontal y=1.

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