Determine os limites das funções e indique quais casos correspondem a existência de uma assíntota ao gráfico da função.
lim x 0 sen(x^2)x

Passo 1

O enunciado pede calcular
limxto0sin(x^2)x
e, a partir desse limite, decidir se há alguma assíntota vertical em x=0. O conteúdo envolvido é cálculo de limite de forma indeterminada e teste de existência de assíntota vertical (que ocorre se o limite é pminfty).

Passo 2

Ao substituir x=0 temos forma indeterminada
tfrac00. Para resolver, podemos usar o Teorema de L’H^opital: derivamos numerador e denominador.

Passo 3

Derivando termo a termo:
ddxl[sin(x^2)r]=2xcos(x^2),
ddx[x]=1
Aplicando L’H^opital, o limite vira
limxto0sin(x^2)x =limxto02xcos(x^2)
Como cos(x^2)to1 e 2xto0, segue que esse limite é 0.

Passo 4

O valor do limite em x=0 é finito ( 0), logo o gráfico tende a um ponto e não “explode”. Portanto não há assíntota vertical em x=0, pois isso só ocorreria se o limite fosse pminfty.

Resposta

limxto0sin(x^2)x=0.
Não há assíntota vertical em x=0.

Exercícios relacionados