A temperatura sobre uma placa metálica é dada por:
T(x, y)=100 x^2-y^2
Se uma formiga anda sobre ela, então em que direção deve ir de modo a sentir a maior variação possível de temperatura?

Passo 1

Beleza, o exercício diz que a temperatura num ponto (x,y) da placa é
T(x,y)=100x^2-y^2
O que ele quer é: em que direção a formiga deve andar para sentir a maior variação de temperatura?
Conteúdo da matéria: derivada direcional e gradiente de funções de duas variáveis.
O que vamos precisar:
  1. Calcular o gradiente nabla T usando derivadas parciais.
  2. Lembrar que a derivada direcional máxima ocorre na direção do gradiente.

Passo 2

Primeiro, lembra da definição de derivada direcional. Se a gente anda na direção de um vetor unitário u=(u1,u2), a variação de T nessa direção é
D uT = nabla Tcdot u
O truque chave: D uT fica máximo quando u aponta na mesma direção de nabla T.

Passo 3

Vamos achar o gradiente. Isso significa tirar as derivadas parciais de T:
partial Tpartial x=200x, partial Tpartial y=-2y
Portanto
nabla T(x,y) = l(200x,,-2yr)

Passo 4

Como nabla T aponta pra direção de maior crescimento de T, a formiga deve seguir esse vetor. Se quisermos um vetor de comprimento 1 (unitário), a gente normaliza:
umax = nabla T|nabla T| = (200x,,-2y)raiz(200x)^2+(-2y)^2

Resposta

A direção da maior variação é dada pelo gradiente
nabla T(x,y)=(200x,,-2y),
e o vetor unitário correspondente é
(200x,,-2y)raiz(200x)^2+(-2y)^2

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