A temperatura sobre uma placa metálica é dada por:
Se uma formiga anda sobre ela, então em que direção deve ir de modo a sentir a maior variação possível de temperatura?
Passo 1
Beleza, o exercício diz que a temperatura num ponto
da placa é
O que ele quer é: em que direção a formiga deve andar para sentir a maior variação de temperatura?
Conteúdo da matéria: derivada direcional e gradiente de funções de duas variáveis.
O que vamos precisar:
Conteúdo da matéria: derivada direcional e gradiente de funções de duas variáveis.
O que vamos precisar:
- Calcular o gradiente
usando derivadas parciais. - Lembrar que a derivada direcional máxima ocorre na direção do gradiente.
Passo 2
Primeiro, lembra da definição de derivada direcional. Se a gente anda na direção de um vetor unitário
, a variação de
nessa direção é
O truque chave:
fica máximo quando
aponta na mesma direção de
.
Passo 3
Vamos achar o gradiente. Isso significa tirar as derivadas parciais de
:
Portanto
Passo 4
Como
aponta pra direção de maior crescimento de
, a formiga deve seguir esse vetor. Se quisermos um vetor de comprimento 1 (unitário), a gente normaliza:
Resposta
A direção da maior variação é dada pelo gradiente
e o vetor unitário correspondente é