Determine os limites infinitos, quando existirem:
\lim _{x \rightarrow 3} \frac{1}{x-3}

Passo 1

O enunciado pede o limite da função
f(x)=\frac{1}{x-3}
quando x se aproxima de 3. O conteúdo é “limites infinitos” e, nesse caso, há uma assíntota vertical em x=3. Para resolver, vamos analisar os limites laterais: de x\to3^- e de x\to3^+.

Passo 2

Quando x\to3^+, temos x-3>0 e muito pequeno. Logo,
\frac{1}{x-3}\to+\infty
porque dividimos 1 por um número positivo que tende a zero.

Passo 3

Quando x\to3^-, temos x-3<0 e muito pequeno (em valor absoluto). Então
\frac{1}{x-3}\to-\infty
pois dividimos 1 por um número negativo que tende a zero.

Passo 4

Como os limites laterais são diferentes (um vai para +\infty e o outro para -\infty), o limite bilateral
\lim_{x\to3}\frac{1}{x-3}
não existe.

Resposta

\displaystyle \lim_{x\to3^+}\frac{1}{x-3}=+\infty \displaystyle \lim_{x\to3^-}\frac{1}{x-3}=-\infty \displaystyle \lim_{x\to3}\frac{1}{x-3} não existe.

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