Determine os limites infinitos.
lim x 0 x-1x^2(x+2).

Passo 1

O enunciado pede o limite
limxto0x-1x^2(x+2)
que é um limite infinito, pois o numerador tende a uma constante não nula e o denominador tende a zero. Para resolver, vamos analisar separadamente o numerador e o denominador, incluindo seu sinal.

Passo 2

Calcular o limite do numerador:
limxto0(x-1) = 0-1 = -1
Logo, para x próximo de zero, o numerador é aproximadamente uma constante negativa.

Passo 3

Calcular o limite do denominador e seu sinal:
limxto0x^2(x+2) = 0cdot(0+2)=0
Além disso, para x próximo de zero temos x^2>0 e x+2>0, então
x^2(x+2)>0
e tende a zero pelos valores positivos.

Passo 4

Como o numerador tende a -1 (constante negativa) e o denominador tende a 0 pela direita (positivo e pequeno), a fração diverge para -infty. Esse comportamento vale tanto ao nos aproximarmos de 0 pela esquerda quanto pela direita, pois x^2 é sempre positivo.

Resposta

limxto0x-1x^2(x+2) = -infty

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