Determine os limites de integração e calcule a integral utilizando a ordem mais conveniente. \iint_{D} \frac{y}{x^{2}+y^{2}} d A, onde D é o triângulo limitado por y=x, y=2 x e x=2
Passo 1
O que o enunciado pede e o que é dado.
Pede: determinar os limites de integração e calcular a integral dupla\iint_{D} \frac{y}{x^{2}+y^{2}}\,dA,onde D é o triângulo limitado pelas retas y=x, y=2x e x=2.
Informações dadas sobre a região D:
As retas y=x e y=2x se encontram na origem (0,0).
A reta vertical x=2 intersecta y=x em (2,2) e y=2x em (2,4).
Portanto D é o triângulo com vértices (0,0), (2,2) e (2,4).
Objetivo prático: escolher a ordem ou mudança de coordenadas mais conveniente, escrever os limites e calcular o valor numérico da integral.
Passo 2
Pensando na estratégia: por que usar coordenadas polares?
A função integrando é \dfrac{y}{x^{2}+y^{2}}. Em coordenadas polares usamos as relaçõesx = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,\qquad x^{2}+y^{2}=r^{2}.
Além disso, o elemento de área em polares é dA = r\,dr\,d\theta (vou explicar o porquê no próximo passo).
Substituindo informalmente: \dfrac{y}{x^{2}+y^{2}} = \dfrac{r\sin\theta}{r^{2}} = \dfrac{\sin\theta}{r}. Juntando com dA=r\,dr\,d\theta o fator r cancela, levando a uma integranda simples \sin\theta.
Por isso coordenadas polares tornam essa integral muito direta; é a ordem mais conveniente.
Passo 3
Breve aula: Jacobiano e o porquê de dA = r\,dr\,d\theta.
Ao passar de (x,y) para (r,\theta) a área de um pequeno elemento muda de escala. Para um retângulo pequeno dr\times d\theta em coordenadas polares a área correspondente em (x,y) é aproximadamente r\,dr\,d\theta. Esse fator r é o determinante da transformação (o jacobiano).
Intuitivamente: ao aumentar \theta numa espiral a distância linear corresponde a r\,d\theta. Multiplicando por dr obtemos a área do pequeno “setor” aproximado.
Resultado prático: substituir dA por r\,dr\,d\theta sempre que integrarmos em coordenadas polares.
Passo 4
Converter a integranda e montar a integral em coordenadas polares.
Substituições:y = r\sin\theta,\qquad x^{2}+y^{2}=r^{2},\qquad dA = r\,dr\,d\theta.
Portanto a integranda vira\frac{y}{x^{2}+y^{2}}\,dA = \frac{r\sin\theta}{r^{2}}\cdot r\,dr\,d\theta = \sin\theta\,dr\,d\theta.
A integral sobre D fica então\iint_{D}\frac{y}{x^{2}+y^{2}}\,dA = \iint_{D_{\text{pol}}} \sin\theta\,dr\,d\theta,onde D_{\text{pol}} é a descrição de D em (r,\theta).
Passo 5
Determinar os limites em \theta: as retas y=x e y=2x.
As retas através da origem correspondem a ângulos fixos \theta porque y/x=\tan\theta.
Para y=2x temos \tan\theta = 2, logo\theta = \arctan(2).
Assim \theta varia de \theta = \dfrac{\pi}{4} até \theta = \arctan(2).
Passo 6
Determinar os limites em r: a reta vertical x=2.
Em polares x = r\cos\theta. A reta x=2 corresponde ar\cos\theta = 2 \quad\Rightarrow\quad r = \frac{2}{\cos\theta},desde que \cos\theta>0. Para os \theta que temos (entre \pi/4 e \arctan 2) realmente \cos\theta>0.
O triângulo tem vértice na origem, então para cada \theta no intervalo o r varia de 0 até r=\dfrac{2}{\cos\theta}.
Portanto os limites em polares são\theta\in\left[\frac{\pi}{4},\,\arctan(2)\right],\qquad r\in\left[0,\,\frac{2}{\cos\theta}\right].
Passo 7
Escrever a integral iterada e integrar em r.
A integral fica\iint_{D}\frac{y}{x^{2}+y^{2}}\,dA = \int_{\theta=\pi/4}^{\arctan(2)} \int_{r=0}^{2/\cos\theta} \sin\theta\,dr\,d\theta.
A integração em r é simples porque \sin\theta é constante em r:\int_{r=0}^{2/\cos\theta} \sin\theta\,dr = \sin\theta\cdot\left[\;r\;\right]_{0}^{2/\cos\theta} = \sin\theta\cdot\frac{2}{\cos\theta} = 2\tan\theta.
Assim a integral reduz a uma integral em \theta:\int_{\pi/4}^{\arctan(2)} 2\tan\theta\,d\theta.
Passo 8
Integrar em \theta: primitiva de \tan\theta e avaliação.
A primitiva de \tan\theta é -\ln\!\bigl|\cos\theta\bigr|. Logo\int 2\tan\theta\,d\theta = -2\ln\!\bigl|\cos\theta\bigr| + C.
Avaliando entre os limites:\left[-2\ln\!\bigl|\cos\theta\bigr|\right]_{\theta=\pi/4}^{\theta=\arctan(2)} = -2\ln\!\bigl(\cos(\arctan(2))\bigr) + 2\ln\!\bigl(\cos(\pi/4)\bigr).
Passo 9
Calcular \cos(\pi/4) e \cos(\arctan(2)) explicitamente.
\cos(\pi/4)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.
Para \theta=\arctan(2) usar um triângulo retângulo: se \tan\theta=2=\dfrac{\text{oposto}}{\text{adjacente}}, tomar oposto =2, adjacente =1. Hipotenusa =\sqrt{1^{2}+2^{2}}=\sqrt{5}. Assim\cos(\arctan(2)) = \frac{1}{\sqrt{5}}.