Determine os limites de integração e calcule a integral utilizando a ordem mais conveniente.
\iint_{D} \frac{y}{x^{2}+y^{2}} d A, onde D é o triângulo limitado por y=x, y=2 x e x=2

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é dado.
  • Pede: determinar os limites de integração e calcular a integral dupla \iint_{D} \frac{y}{x^{2}+y^{2}}\,dA,onde D é o triângulo limitado pelas retas y=x, y=2x e x=2.
  • Informações dadas sobre a região D:
    • As retas y=x e y=2x se encontram na origem (0,0).
    • A reta vertical x=2 intersecta y=x em (2,2) e y=2x em (2,4).
    • Portanto D é o triângulo com vértices (0,0), (2,2) e (2,4).
  • Objetivo prático: escolher a ordem ou mudança de coordenadas mais conveniente, escrever os limites e calcular o valor numérico da integral.

Passo 2

Pensando na estratégia: por que usar coordenadas polares?
  • A função integrando é \dfrac{y}{x^{2}+y^{2}}. Em coordenadas polares usamos as relações x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,\qquad x^{2}+y^{2}=r^{2}.
  • Além disso, o elemento de área em polares é dA = r\,dr\,d\theta (vou explicar o porquê no próximo passo).
  • Substituindo informalmente: \dfrac{y}{x^{2}+y^{2}} = \dfrac{r\sin\theta}{r^{2}} = \dfrac{\sin\theta}{r}. Juntando com dA=r\,dr\,d\theta o fator r cancela, levando a uma integranda simples \sin\theta.
  • Por isso coordenadas polares tornam essa integral muito direta; é a ordem mais conveniente.

Passo 3

Breve aula: Jacobiano e o porquê de dA = r\,dr\,d\theta.
  • Ao passar de (x,y) para (r,\theta) a área de um pequeno elemento muda de escala. Para um retângulo pequeno dr\times d\theta em coordenadas polares a área correspondente em (x,y) é aproximadamente r\,dr\,d\theta. Esse fator r é o determinante da transformação (o jacobiano).
  • Intuitivamente: ao aumentar \theta numa espiral a distância linear corresponde a r\,d\theta. Multiplicando por dr obtemos a área do pequeno “setor” aproximado.
  • Resultado prático: substituir dA por r\,dr\,d\theta sempre que integrarmos em coordenadas polares.

Passo 4

Converter a integranda e montar a integral em coordenadas polares.
  • Substituições: y = r\sin\theta,\qquad x^{2}+y^{2}=r^{2},\qquad dA = r\,dr\,d\theta.
  • Portanto a integranda vira \frac{y}{x^{2}+y^{2}}\,dA = \frac{r\sin\theta}{r^{2}}\cdot r\,dr\,d\theta = \sin\theta\,dr\,d\theta.
  • A integral sobre D fica então \iint_{D}\frac{y}{x^{2}+y^{2}}\,dA = \iint_{D_{\text{pol}}} \sin\theta\,dr\,d\theta,onde D_{\text{pol}} é a descrição de D em (r,\theta).

Passo 5

Determinar os limites em \theta: as retas y=x e y=2x.
  • As retas através da origem correspondem a ângulos fixos \theta porque y/x=\tan\theta.
  • Para y=x temos \tan\theta = 1, logo \theta = \arctan(1) = \frac{\pi}{4}.
  • Para y=2x temos \tan\theta = 2, logo \theta = \arctan(2).
  • Assim \theta varia de \theta = \dfrac{\pi}{4} até \theta = \arctan(2).

Passo 6

Determinar os limites em r: a reta vertical x=2.
  • Em polares x = r\cos\theta. A reta x=2 corresponde a r\cos\theta = 2 \quad\Rightarrow\quad r = \frac{2}{\cos\theta},desde que \cos\theta>0. Para os \theta que temos (entre \pi/4 e \arctan 2) realmente \cos\theta>0.
  • O triângulo tem vértice na origem, então para cada \theta no intervalo o r varia de 0 até r=\dfrac{2}{\cos\theta}.
  • Portanto os limites em polares são \theta\in\left[\frac{\pi}{4},\,\arctan(2)\right],\qquad r\in\left[0,\,\frac{2}{\cos\theta}\right].

Passo 7

Escrever a integral iterada e integrar em r.
  • A integral fica \iint_{D}\frac{y}{x^{2}+y^{2}}\,dA = \int_{\theta=\pi/4}^{\arctan(2)} \int_{r=0}^{2/\cos\theta} \sin\theta\,dr\,d\theta.
  • A integração em r é simples porque \sin\theta é constante em r: \int_{r=0}^{2/\cos\theta} \sin\theta\,dr = \sin\theta\cdot\left[\;r\;\right]_{0}^{2/\cos\theta} = \sin\theta\cdot\frac{2}{\cos\theta} = 2\tan\theta.
  • Assim a integral reduz a uma integral em \theta: \int_{\pi/4}^{\arctan(2)} 2\tan\theta\,d\theta.

Passo 8

Integrar em \theta: primitiva de \tan\theta e avaliação.
  • A primitiva de \tan\theta é -\ln\!\bigl|\cos\theta\bigr|. Logo \int 2\tan\theta\,d\theta = -2\ln\!\bigl|\cos\theta\bigr| + C.
  • Avaliando entre os limites: \left[-2\ln\!\bigl|\cos\theta\bigr|\right]_{\theta=\pi/4}^{\theta=\arctan(2)} = -2\ln\!\bigl(\cos(\arctan(2))\bigr) + 2\ln\!\bigl(\cos(\pi/4)\bigr).

Passo 9

Calcular \cos(\pi/4) e \cos(\arctan(2)) explicitamente.
  • \cos(\pi/4)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.
  • Para \theta=\arctan(2) usar um triângulo retângulo: se \tan\theta=2=\dfrac{\text{oposto}}{\text{adjacente}}, tomar oposto =2, adjacente =1. Hipotenusa =\sqrt{1^{2}+2^{2}}=\sqrt{5}. Assim \cos(\arctan(2)) = \frac{1}{\sqrt{5}}.
  • Substituindo: -2\ln\!\Bigl(\frac{1}{\sqrt{5}}\Bigr) + 2\ln\!\Bigl(\frac{\sqrt{2}}{2}\Bigr).

Passo 10

Simplificar a expressão numérica para a resposta final.
  • Calcule os logaritmos: -2\ln\!\Bigl(\frac{1}{\sqrt{5}}\Bigr) = -2\bigl(-\tfrac{1}{2}\ln 5\bigr) = \ln 5.pois \ln(1/\sqrt{5}) = -\tfrac{1}{2}\ln 5.
  • E 2\ln\!\Bigl(\frac{\sqrt{2}}{2}\Bigr) = 2\bigl(\tfrac{1}{2}\ln 2 - \ln 2\bigr) = 2\bigl(-\tfrac{1}{2}\ln 2\bigr) = -\ln 2.(mais diretamente: \dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}, então \ln(\dfrac{\sqrt{2}}{2})=-\tfrac{1}{2}\ln 2, multiplicando por 2 -\ln 2.)
  • Somando: \ln 5 + (-\ln 2) = \ln\!\left(\frac{5}{2}\right).
  • Portanto o valor da integral é \displaystyle \ln\!\left(\frac{5}{2}\right).

Resposta

\ln\!\left(\dfrac{5}{2}\right)

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