Determine os limites nos itens abaixo (utilize o Teorema do Confronto):
\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{\cos (x)}{3 x}

Passo 1

O enunciado pede o valor de
\lim_{x\to -\infty}\frac{\cos(x)}{3x}.
O conteúdo aqui é cálculo de limite no infinito usando o Teorema do Confronto (também chamado de Teorema do Sanduíche). Vamos usar que \cos(x) é limitada entre -1 e 1 e depois aplicar o argumento de que, ao dividir por 3x que tende a -\infty, os limites das funções que encostam em cima e embaixo se anulam.

Passo 2

Sabemos que, para todo x,
-1 \le \cos(x) \le 1.
Esse é o ponto de partida do Teorema do Confronto: encontramos duas funções que “espremem” a função de interesse.

Passo 3

Como estamos dividindo tudo por 3x e x\to -\infty faz 3x<0, ao dividir a desigualdade por 3x invertendo o sinal, temos
-\frac{1}{3x} \ge \frac{\cos(x)}{3x} \ge \frac{1}{3x}.

Passo 4

Agora analisamos os limites das extremas quando x\to -\infty. Note que
\lim_{x\to -\infty} \bigl(-\tfrac{1}{3x}\bigr) = \lim_{x\to -\infty} \tfrac{1}{3x} =0,
pois o denominador cresce em módulo indefinidamente. Pelo Teorema do Confronto, a função “espremida” entre elas também tende a zero.

Resposta

\lim_{x\to -\infty}\frac{\cos(x)}{3x}=0.

Exercícios relacionados